∎ Trunchi de piramidă

• Dacă secționăm o piramidă cu un plan paralel cu baza, atunci corpul dintre planul de secțiune și baza piramidei se numește trunchi de piramidă.


• Prin secționarea piramidei inițiale cu un plan paralel cu baza, se obțin două corpuri: trunchiul de piramidă și o piramidă mai mică, al cărei vârf coincide cu vârful piramidei inițiale.


• Piramida inițială și piramida mică sunt asemenea.
• Unghiurile corespunzătoare sunt congruente.
• Raportul muchiilor corespunzătoare se numește raport de asemănare pentru cele două piramide (este constant).


• Dacă trunchiul de piramidă provine dintr-o piramidă regulată, atunci se numește trunchi de piramidă regulată.


• În funcție de tipul piramidei inițiale, avem trunchi de piramidă triunghiulară, trunchi de piramidă patrulateră, trunchi de piramidă hexagonală etc.











• Elementele unui trunchi de piramidă sunt:


• baza mare și baza mică; baza mare este chiar baza piramidei inițiale, iar baza mică este poligonul din planul de secțiune.


• fețele laterale sunt suprafețele laterale care rămân după ce se îndepărtează piramida mică.


• muchiile laterale sunt segmentele care rămân din muchiile piramidei inițiale, după ce se îndepărtează piramida mică.


• muchiile bazelor sunt muchiile bazei mari și bazei mici.


• distanța dintre două muchii ale bazelor, situate pe aceeași față laterală, se numește apotema trunchiului de piramidă (este înălțimea trapezului care constituie fața laterală).












• Proprietăți ale trunchiului de piramidă:


• cele două baze sunt poligoane asemenea;


• fețele laterale sunt trapeze;


• muchiile bazei mici sunt paralele cu muchiile bazei mari;


• muchiile bazei mici determină triunghiuri asemenea pe fețele laterale ale piramidei inițiale, cu același raport de asemănare;


• unghiurile bazelor sunt respectiv congruente (sunt unghiuri cu laturile respectiv paralele);


• dacă trunchiul de piramidă provine dintr-o piramidă regulată, atunci:


• fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente;


• muchiile laterale sunt congruente (egale).




• de exemplu, pentru piramida triunghiulară \({\mathit{VABCD}}\) de mai jos, avem planul \({(A'B'C')}\) paralel cu baza \({(ABC)}\); rezultă trunchiul de piramidă triunghiulară \({A'B'C'ABC}\):







\({\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC}\)

• \({\frac{\displaystyle A'B'}{\displaystyle AB}=\frac{\displaystyle B'C'}{\displaystyle BC}=\frac{\displaystyle A'C'}{\displaystyle AC}=k}\)


• \({\frac{\displaystyle VA'}{\displaystyle VA}=\frac{\displaystyle VB'}{\displaystyle VB}=\frac{\displaystyle VC'}{\displaystyle VC}=k}\)


• \({\frac{\displaystyle VA'}{\displaystyle AA'}=\frac{\displaystyle VB'}{\displaystyle BB'}=\frac{\displaystyle VC'}{\displaystyle CC'}=k}\)



\({\triangle VA'B' \sim \triangle VAB}\)

\({\triangle VB'C' \sim \triangle VBC}\)

\({\triangle VA'C' \sim \triangle VAC}\)




\({\sphericalangle A'B'C' \equiv \sphericalangle ABC}\)

\({\sphericalangle C'A'B' \equiv \sphericalangle CAB}\)

\({\sphericalangle A'C'B' \equiv \sphericalangle ACB}\)








• Cum desenăm un trunchi de piramidă?


• desenăm mai întâi piramida inițială;


• alegem un punct pe o muchie laterală;


• prin punctul ales, ducem paralele la laturile bazei; marcăm punctele de intersecție ale acestor paralele cu muchiile piramidei;


• continuăm să ducem paralele cu laturile bazei prin punctele de intersecție; la final, unim ultimele două puncte de intersecție;


• obținem un poligon asemenea cu poligonul de la baza piramidei inițiale;


• muchiile care nu se văd le desenăm cu linie punctată;


• am obținut trunchiul de piramidă dorit.