∎ Exemple: distanța de la un punct la o dreaptă

• Distanța de la vârful unei piramide regulate la drepte incluse în planul bazei:


• Distanța de la vârful piramidei regulate la drepte care conțin centrul bazei este egală cu înălțimea piramidei.



Înălțimea \({VO}\) a piramidei regulate este perpendiculară pe planul bazei acesteia, deci e perpendiculară pe toate dreptele din acest plan. Distanța de la \({V}\) la dreptele din planul bazei piramidei care conțin punctul \({O}\) este egală cu \({VO}\).

Dreptele \({AC}\), \({BD}\) și \({OM}\) conțin punctul \({O}\). Rezultă că distanța de la \({V}\) la aceste drepte este egală cu lungimea segmentului \({VO}\):

\({d(V,AC)=d(V,BD)=d(V,OM)=VO}\)






• Reținem! Dacă dreapta conține piciorul perpendicularei din punctul dat, atunci distanța dintre dreaptă și punctul dat este egală cu lungimea segmentului determinat de punct și de piciorul perpendicularei duse din el pe dreaptă.







• Distanța de la vârful unei piramide regulate la o latură a bazei este egală cu apotema piramidei (se aplică teorema celor trei perpendiculare: înălțimea este perpendiculară pe planul bazei, apotema bazei este perpendiculară pe latura bazei în mijlocul acesteia, deci segmentul care unește vârful piramidei cu mijlocul laturii bazei este perpendicular pe această latură).







Într-o piramidă regulată, segmentul care unește vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea piramidei; aceasta este perpendiculară pe planul bazei.

$$ \left. \begin{array}{ll} \mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata}\\ AC \cap BD= \{O\} \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp (ABC) \; \text{inaltimea} \; \text{piramidei} $$




Într-o poligon regulat, segmentul care unește centrul poligonului cu mijlocul unei laturi este perpendicular pe latură și este egal cu jumătate din lungimea laturii. Dacă poligonul este bază a unei piramide regulate, atunci segmentul respectiv este apotema bazei acestei piramide.

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; \text{patrat} \\ M \; \text{-} \; \text{mijlocul} \; \text{lui}\; BC \end{array} \right \} \Longrightarrow OM \perp BC $$




Aplicăm teorema celor trei perpendiculare pentru a arăta că distanța de la vârful unei piramide regulate la o latură a a bazei este egală cu apotema piramidei.

$$ \left. \begin{array}{ll} V \not\in (ABC) \\ BC \subset (ABC) \\ VO \perp (ABC), O \in (ABC) \\ OM \perp BC, M \in BC \end{array} \right \} \overset{T3P}\Longrightarrow VM \perp BC \Longrightarrow d(V, BC) = VM $$

\({VM \; \text{apotema} \; \text{piramidei}}\)

• Reținem! Dacă dreapta nu conține piciorul perpendicularei din punctul dat, atunci pentru a detremina distanța dintre dreaptă și punctul dat aplicăm teorema celor trei perpendiculare.








• Distanța de la centrul unei piramide regulate la drepte incluse într-o față laterală a piramidei:


• Distanța de la centrul unei piramide regulate la o muchie laterală este înălțime în triunghiul dreptunghic format de apotema bazei, înălțimea piramidei (catete) și muchia laterală a piramidei (ipotenuză).







Aplicăm formula \({inaltimea_{\triangle dr.}=\frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle ipotenuza}}\) pentru a calcula înălțimea în triunghiul dreptunghic (dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză; celelalte două înălțimi sunt catetele).

\({VO \perp (ABC) \Longrightarrow VO \perp OB \Longrightarrow \triangle VOB \; \text{dreptunghic} \;\text{în} \;\text{O}}\)

Fie \({OP \perp VB }\), \({P \in VB }\) înălțimea din vârful triunghiului dreptunghic pe ipotenuză. Distanța de la centrul bazei la muchia laterală \({VB }\) este \({OP}\).

\({d(O, VB)=OP=\frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle ipotenuza}=\frac{\displaystyle VO \cdot OB}{\displaystyle VB}}\)



• Distanța de la centrul unei piramide regulate la apotema piramidei este înălțime în triunghiul dreptunghic format de apotema bazei, înălțimea piramidei (catete) și apotema piramidei (ipotenuză).







Aplicăm formula \({inaltimea_{\triangle dr.}=\frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle ipotenuza}}\) pentru a calcula înălțimea în triunghiul dreptunghic (dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză; celelalte două înălțimi sunt catetele).

\({VO \perp (ABC) \Longrightarrow VO \perp OM \Longrightarrow \triangle VOM \; \text{dreptunghic} \;\text{în} \;\text{O}}\)

Fie \({ON \perp VM }\), \({N \in VM }\) înălțimea din vârful triunghiului dreptunghic pe ipotenuză. Distanța de la centrul bazei la apotema \({VM }\) a piramidei este \({ON}\).

\({d(O, VM)=ON=\frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle ipotenuza}=\frac{\displaystyle VO \cdot OM}{\displaystyle VM}}\)