∎ Reciproce ale teoremei celor trei perpendiculare. Calculul distanței dintre două plane paralele

★ Teorema celor trei perpendiculare

• Fie planul \({\alpha}\), punctul \({A}\) exterior lui \({\alpha}\) și o dreaptă \({d}\) inclusă în \({\alpha}\). Dacă dreapta \({AB}\) este perpendiculară pe planul \({\alpha}\), cu \({B \in \alpha}\) și dreapta \({BC}\) este perpendiculară pe \({d}\), cu \({C \in d}\), atunci dreapta \({AC}\) este perpendiculară pe dreapta \({d}\).

★ Prima reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare

• Dacă dintr-un punct exterior unui plan ducem o perpendiculară pe plan și o perpendiculară pe o dreaptă inclusă în plan, atunci dreapta care unește picioarele celor două perpendiculare este perpendiculară pe dreapta dată inclusă în plan.



$$ \left. \begin{array}{ll} A \not\in \alpha \\ d \subset \alpha \\ AB \perp \alpha, B \in \alpha \\ AC \perp d, C \in d \end{array} \right \} \Longrightarrow BC \perp d $$

★ A doua reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare

• Fie un plan și o dreaptă inclusă în acesta. Dacă într-un punct al dreptei date se duc două perpendiculare, una în exteriorul planului și una inclusă în plan, atunci perpendiculara din orice punct al primei perpendiculare pe cea de-a doua perpendiculară este perpendiculară pe plan.



$$ \left. \begin{array}{ll} d \subset \alpha \\ C \in d \\ AC \perp d, A \not\in \alpha \\ BC \perp d, B \in \alpha \\ AB \perp BC \end{array} \right \} \Longrightarrow AB \perp \alpha $$

• A doua reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare ne oferă un mod de a construi perpendiculara dintr-un punct pe un plan și apoi de a calcula distanța de la acel punct la plan (în desenul de mai sus, distanța de la punctul \({A}\) la planul \({\alpha}\) este \({AB}\); putem calcula acesată distanță folosind teorema lui Pitagora în triunghiul \({ABC}\) dreptunghic în \({B}\)).


• Distanța dintre un punct și proiecția lui pe plan este distanța de la acel punct la planul respectiv.







• Cum construim o perpendiculară dintr-un punct pe un plan:


• consiserăm un punct exterior planului și o dreaptă inclusă în plan;


• din punctul ales, ducem o perpendiculară pe dreapta aleasă din plan;


• din piciorul acestei perpendiculare, ducem o perpendiculară conținută în plan pe dreapta aleasă;


• coborâm perpendiculara din punctul exterior planului pe cea de-a doua perpendiculară construită;


• această perpendiculară (ultima) este distanța de la punctul exterior planului la planul dat.



$$ \left. \begin{array}{ll} \textcolor{#ff1493}{ 1.} \; A \not\in \alpha \; \text{și} \; d \subset \alpha \\ \textcolor{#ff1493}{2.} \; AC \perp d, \; \text{unde} \; C \in d \\ \textcolor{#ff1493}{ 3.} \; BC \perp d, \; \text{unde} \; B \in \alpha \\ \textcolor{#ff1493}{ 4.} \; AB \perp BC \end{array} \right \} \Longrightarrow \textcolor{#ff1493}{AB \perp \alpha, \; \text{deci} \; d(A, \alpha)=AB} $$




★ Calculul distanței dintre două plane paralele



• Fie două plane paralele. Distanța de la un punct al unui plan la celălalt plan este distanța dintre cele două plane.



$$ \left. \begin{array}{ll} \alpha \parallel \beta \\ A \in \alpha \\ B \in \beta \\ AB \perp \beta \end{array} \right \} \Longrightarrow d(\alpha,\beta)=AB $$