∎ Exemple: unghiul dintre două drepte

★ Fie \({\mathit{VABCD}}\) piramidă regulată, cu latura bazei egală cu \({4\;cm}\) și muchia laterală egală cu \({4\sqrt{3}\;cm}\). Să calculăm cosinusul unghiului dintre muchia laterală \({VB}\) și latura \({AD}\) a bazei.

• Observăm că muchia laterală \({VB}\) și latura \({AD}\) a bazei sunt drepte necoplanare. Alegem un punct pe una dintre aceste drepte și, prin acest punct, ducem paralela la cealaltă dreaptă. Știm că laturile bazei piramidei patrulatere regulate sunt paralele două câte două (baza acestei piramide este pătrat). Deci \({AD}\) este paralelă cu \({BC}\). Punctul \({B}\) aparține muchiei laterale \({VB}\). Rezultă că unghiul dintre \({VB}\) și \({AD}\) este unghiul dintre \({VB}\) și \({BC}\), adică unghiul \({VBC}\).



\({\mathit{VABCD} \; \text{piramida}\; \text{regulata} \Longrightarrow ABCD \; \text{patrat} \Longrightarrow AD \parallel BC }\) \({ \Longrightarrow \sphericalangle(VB, AD)=\sphericalangle(VB, BC) =\sphericalangle VBC}\)

• Vom determina cosinusul unghiului \({VBC}\) din triunghiul \({VMB}\) dreptunghic în \({M}\).


• Fie \({M}\) mijlocul laturii \({BC}\). Triunghiul \({VBC}\) este isoscel, deoarece într-o piramidă regulată muchiile laterale sunt congruente (egale), deci \({VC}\) este congruentă cu \({CV}\). Rezultă că \({VM}\) este perpendiculară pe baza \({BC}\) a triunghiului isoscel \({VBC}\) (\({VM}\) este apotema piramidei).



\({\mathit{VABCD} \; \text{piramida}\; \text{regulata} \Longrightarrow VA=VB=CV=VD \Longrightarrow \triangle VBC \; \text{isoscel}}\)

\({M \; \text{mijlocul}\; \text{lui} \; BC \Longrightarrow VM \perp BC \Longrightarrow \triangle VMB \; \text{dreptunghic}\; \text{in}\; M}\)

• Cosinusul unghiului \({VBC}\) este egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză:



\({\text{cos} \; \sphericalangle VBC=\frac{\displaystyle BM}{\displaystyle VB}}\)

\({BM=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2}=2 \; cm}\)

\({VB =4\sqrt{3}\; cm}\)

\({\text{cos} \; \sphericalangle VBC=\frac{\displaystyle \cancel{2}}{\displaystyle \cancel{4}_2\sqrt{3}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt{3}}=\frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6}}\)

★ Fie \({\mathit{VABC}}\) piramidă regulată, cu latura bazei egală cu \({10\;cm}\) și muchia laterală egală cu \({13\;cm}\). Să calculăm:

a) cosinusul unghiului dintre apotema \({VM}\) a piramidei, cu \({M \in BC}\) și latura \({AB}\) a bazei.

b) măsura unghiului dintre \({VA}\) și \({BC}\).

• a) Observăm că apotema \({VM}\) a piramidei și latura \({AB}\) a bazei sunt drepte necoplanare. Pentru a stabili care este unghiul pe care-l formează, printr-un punct al uneia dintre ele vom duce paralela la cealaltă. Deoarece \({VM}\) este apotema piramidei, rezultă că punctul \({M}\) este mijlocul lui \({BC}\), deci el aparține liniei mijlocii în triunghiul \({ABC}\) (linia mijlocie într-un triunghi unește mijloacele a două laturi și este paralelă cu a treia latură și jumătate din aceasta).


• Fie \({N}\) mijlocul laturii \({AC}\) și \({Q}\) mijlocul laturii \({AB}\). Rezultă că \({MN}\) este linie mijlocie în triunghiul \({ABC}\), deci \({MN}\) paralelă cu \({AB}\) și \({MN=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2}}\).


• Deoarece \({MN}\) este paralelă cu \({AB}\), rezultă că unghiul dintre \({VM}\) și \({AB}\) este egal cu unghiul dintre \({VM}\) și \({MN}\), adică este unghiul \({VMN}\).







\({VM \; \text{apotema}\; \text{piramidei} \Longrightarrow VM \perp BC \; \text{si} \; M\; \text{mijlocul} \;\text{lui} \; BC }\)

Fie \({N\; \text{mijlocul} \;\text{lui} \; AC \Longrightarrow MN \; \text{linie} \;\text{mijlocie} \;\text{in} \; \triangle ABC}\) \({\Longrightarrow MN \parallel AB \; \text{si} \; MN=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2}}\)

\({\Longrightarrow \sphericalangle(VM, AB)=\sphericalangle(VM, MN) =\sphericalangle VMN}\)

• Pentru a calcula cosinusul unghiului \({VMN}\), trebuie să găsim un triunghi dreptunghic care conține acest unghi.


• Fie \({P}\) punctul în care se intersectează linia mijlocie \({MN}\) și înălțimea \({CQ}\) a triunghiului \({ABC}\).



\({MN \cap CQ = \{P \}}\)

• Unghiul \({VMN}\) se află în triunghiurile \({VMN}\) și \({VMP}\). Este vreunul dintre aceste triunghiuri dreptunghic?






• Deoarece \({MN}\) este paralelă cu \({AB}\) și \({CQ}\) este perpendiculară pe \({AB}\), rezultă că \({CQ}\) este perpendiculară și pe \({MN}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} AB \parallel MN \\ CQ \perp AB \end{array} \right \} \Longrightarrow CQ \perp MN $$

• Avem \({VO}\) înălțimea piramidei, deci \({VO}\) este perpendiculară pe \({CQ}\); \({CQ}\) este perpendiculară pe \({MN}\); conform teoremei celor trei perpendiculare, \({VP}\) este perpendiculară pe \({MN}\), deci triunghiul \({VPM}\) este dreptunghic în \({P}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} V \not\in (ABC) \\ MN \in (ABC) \\ VO \perp (ABC), O \in (ABC) \\ OP \perp MN, P \in MN \end{array} \right \} \overset{T3P}\Longrightarrow VP \perp MN \Longrightarrow \triangle VPM \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; P $$

• Cosinusul unghiului \({VMP}\) este egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză:



\({\text{cos} \; \sphericalangle VMP=\frac{\displaystyle MP}{\displaystyle VM}}\)

• Să calculăm lungimea segmentului \({MP}\).


• Triunghiul \({CMN}\) este echilateral; laturile lui au lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii triunghiului \({ABC}\). Cum \({CP}\) este perpendiculară pe \({MN}\), rezultă că \({CP}\) este și mediană în triunghiul echilateral \({CMN}\); rezultă că punctul \({P}\) este mijlocul lui \({MN}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle ABC \; \text{echilateral} \\ MN =CN=CM= \frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2} \end{array} \right \} \Longrightarrow \triangle CMN \; \text{echilateral} $$

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle CMN \; \text{echilateral} \\ CP \perp MN \end{array} \right \} \Longrightarrow CP \; \text{mediana}\;\Longrightarrow P \; \text{mijlocul}\;\text{lui}\;MN $$

\({\Longrightarrow MP=\frac{\displaystyle MN}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} \;cm}\)

• Să calculăm lungimea segmentului \({VM}\) (apotema piramidei).


• Apotema piramidei este perpendiculară pe latura bazei, iar piciorul perpendicularei este mijlocul laturii bazei. Apotema \({VM}\) a piramidei este ipotenuză în triunghiul dreptunghic \({VMB}\). Lungimea muchiei laterale a piramidei o știm din enunț (este 13 centimetri). Lungimea catetei \({BM}\) este jumătate din lungimea laturii triunghiului \({ABC}\) (pentru că \({M}\) este mijlocul lui \({BC}\)); deci \({BM =\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 2}=5 \;cm}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \({VMB}\) dreptunghic în \({P}\) și calculăm lungimea ipotenuzei \({VM}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} VM \perp BC \\ BM =\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 2}=5 \;cm \\ VB=13 \;cm \end{array} \right \} \overset{T. \; Pitagora}\Longrightarrow VM^2=VB^2-BM^2=13^2-5^2=169-25=144 $$

\({VM=\sqrt{144}=12 \;cm}\)

• Calculăm cosinusul unghiului \({VMP}\):



\({\text{cos} \; \sphericalangle VMP=\frac{\displaystyle MP}{\displaystyle VM}=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}}{\displaystyle 12}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 24}}\)









• b) Trebuie să găsim care este unghiul format de muchiile \({VA}\) și \({BC}\) ale piramidei triunghiulare regulate.


• Deoarece \({VM}\) este apotema piramidei și \({M\in BC}\), rezultă că \({M}\) este mijlocul lui \({BC}\), deci \({AM}\) este mediană.



$$ \left. \begin{array}{ll} VM \;\text{apotema}\;\text{piramidei} \\ M\in BC \end{array} \right \} \Longrightarrow M \;\text{mijlocul}\;\text{lui} \;BC \Longrightarrow AM \;\text{mediana}\;\text{in} \;\triangle ABC $$

• Baza \({ABC}\) a piramidei regulate este triunghi echilateral. Rezultă că \({AM}\) este și înălțime, deci \({BC \perp AM}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle ABC \;\text{echilateral} \\ AM \;\text{mediana} \end{array} \right \} \Longrightarrow AM \;\text{inaltime}\Longrightarrow BC \perp AM $$

• Cum \({VM}\) este apotema piramidei, rezultă că \({BC \perp VM}\).



\({ VM \;\text{apotema}\;\text{piramidei,} \;M \in BC \Longrightarrow BC \perp VM}\)

• Dar \({AM}\) și \({VM}\) sunt drepte concurente din planul \({(VAM)}\). Rezultă că \({BC}\) este perpendiculară pe planul \({(VAM)}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} AM \cap VM=\{ M \} \\ AM, VM \subset (VAM) \\ BC \perp AM \\ BC \perp VM \end{array} \right \} \Longrightarrow BC \perp (VAM) $$

• Muchia \({VA}\) a piramidei este inclusă în planul \({(VAM)}\); cum \({BC}\) este perpendiculară pe acest plan, rezultă că \({BC}\) este perpendiculară și pe \({VA}\). Rezultă că unghiul dintre \({VA}\) și \({BC}\) este de \({90^{\circ}}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} BC \perp (VAM) \\ VA \subset (VAM) \end{array} \right \} \Longrightarrow BC \perp VA \Longrightarrow \sphericalangle (BC, VA)=90^{\circ} $$

• Reținem! Într-o piramidă triunghiulară regulată, muchiile opuse sunt perpendiculare.

★ Fie \({ABCDEFGH}\) un paralelipiped dreptunghic, cu \({AB=8\;cm}\), \({BC=5\;cm}\) și \({AE=6\;cm}\) Să calculăm:

a) cosinusul unghiului dintre \({EF}\) și \({CG}\).

b) sinusul unghiului dintre \({EF}\) și \({CH}\).

• a) Deoarece \({ABCDEFGH}\) este paralelipiped dreptunghic, rezultă că muchiile laterale sunt paralele, deci \({CG}\) este paralelă cu \({AE}\). Rezultă că unghiul dintre \({EF}\) și \({CG}\) este egal cu unghiul dintre \({EF}\) și \({AE}\), adică este egal cu unghiul \({AEF}\).


• Fețele laterale ale paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri, deci \({ABFE}\) este dreptunghi. Rezultă că măsura unghiului \({AEF}\) este egală cu \({90^{\circ}}\). Cosinusul unghiului de \({90^{\circ}}\) este \({0}\).







\({ ABCDEFGH \;\text{paralelipiped}\;\text{dreptunghic} \; \Longrightarrow CG \parallel AE \Longrightarrow \sphericalangle (EF, CG) = \sphericalangle(EF, AE)=\sphericalangle AEF}\)

\({ ABFE \;\text{dreptunghi}\;\Longrightarrow \sphericalangle AEF =90^{\circ} \Longrightarrow \text{cos}\;\sphericalangle AEF = 0}\)



• b) Deoarece \({EFGH}\) este dreptunghi, rezultă că laturile sale opuse sunt paralele, deci \({EF}\) este paralelă cu \({GH}\). Rezultă că unghiul dintre \({EF}\) și \({CH}\) este egal cu unghiul dintre \({GH}\) și \({CH}\), adică este egal cu unghiul \({CHG}\).



\({ EFGH \;\text{dreptunghi} \; \Longrightarrow EF \parallel GH \Longrightarrow \sphericalangle (EF, CH) = \sphericalangle(GH, CH)=\sphericalangle CHG}\)






• Triunghiul \({HGC}\) este dreptunghic în \({G}\). Rezultă că sinusul unghiului \({CHG}\) este egal cu raportul dintre \({CG}\) și \({CH}\) (cateta opusă supra ipotenuză).



\({ \triangle HGC \;\text{dreptunghic} \;\text{in} \; G \Longrightarrow \text{sin}\;\sphericalangle CHG= \frac{\displaystyle CG}{\displaystyle CH}}\)

• Muchiile laterale ale paralelipipedului dreptunghic sunt congruente (egale), deci \({CG}\) este egală cu \({6 \; cm }\).



\({ ABCDEFGH \;\text{paralelipiped}\;\text{dreptunghic} \; \Longrightarrow CG = AE =6 \; cm}\)

• Calculăm lungimea segmentului \({CH}\). Acesta este ipotenuză în triunghiul \({HGC}\) dreptunghic în \({G}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și obținem lungimea ipotenuzei \({CH}\).



\({ \triangle HGC \;\text{dreptunghic} \;\text{in} \; G \overset{T. \;Pitagora}\Longrightarrow CH^2=HG^2+CG^2=8^2+6^2=64+36=100}\)

\({ CH=\sqrt{100} =10\;cm}\)

• Calculăm sinusul unghiului \({CHG}\).



\({\text{sin}\;\sphericalangle CHG= \frac{\displaystyle CG}{\displaystyle CH}=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}}\)