∎ Calculul apotemei și înălțimii în piramida regulată

Considerăm o piramidă regulată.

• Baza ei este un poligon regulat (are toate laturile și toate unghiurile congruente, adică egale).


• Muchiile laterale ale piramidei regulate sunt congruente; ele formează triunghiuri isoscele cu laturile bazei.


• Înălțimea piramidei regulate este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe toate dreptele conținute în planul bazei; ea „înțeapă” acest plan în centrul bazei. Centrul bazei este centrul cercului circumscris bazei.


• La triunghiul echilateral, medianele, înălțimile, bisectoarele, mediatoarele coincid. Punctul lor de intersecție este centrul cercului circumscris triunghiului.


• În cazul pătratului, centrul cercului circumscris este la intersecția diagonalelor.


• În cazul hexagonului regulat, centrul cercului circumscris este la intersecția celor mai lungi trei diagonale.

Segmentele care unesc vârful piramidei regulate cu mijloacele laturilor bazei se numesc apotemele piramidei. Ele sunt perpendiculare pe laturile bazei; sunt înălțimi corespunzătoare bazei în triunghiurile isoscele formate pe fețele laterale.

Vom calcula înălțimea și apotemele piramidei regulate. Aceste calcule sunt valabile pentru orice piramidă regulată.

Înălțimea piramidei

Înălțimea \({VO}\) a piramidei regulate este catetă atât în triunghiul dreptunghic \({VOM}\), cât și în triunghiul dreptunghic \({VOB}\) (ambele dreptunghice în \({O}\) pentru că înălțimea piramidei regulate este perpendiculară pe planul bazei, deci pe toate dreptele din acel plan; rezultă că \({VO}\) este perpendiculară pe \({OM}\) și pe \({BO}\)). Aplicăm teorema lui Pitagora în oricare dintre aceste două triunghiuri și aflăm lungimea lui \({VO}\).

\({\mathit{VABCD} \;\text{piramidă} \;\text{ regulată} \; \Longrightarrow VO \perp (ABC) \Longrightarrow VO \perp OM \;\text{ și} \; VO \perp BO}\)

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul \({VOM}\) dreptunghic în \({O}\), calculăm înălțimea piramidei în funcție de apotema piramidei și apotema bazei.

\({\triangle VOM \;\text{ dreptunghic} \;\text{ în} \;O \overset{T. Pitagora}{\Longrightarrow} VO^2=VM^2-OM^2}\)

\({VO=\sqrt{VM^2-OM^2}=\text{înălțimea} \;\text{piramidei}}\)

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul \({VOB}\) dreptunghic în \({O}\), calculăm înălțimea piramidei în funcție de muchia laterală a piramidei și raza cercului circumscris bazei.

\({\triangle VOB \;\text{ dreptunghic} \;\text{ în} \;O \overset{T. Pitagora}{\Longrightarrow} VO^2=VB^2-BO^2}\)

\({VO=\sqrt{VB^2-BO^2}=\text{înălțimea} \;\text{piramidei}}\)

Apotema piramidei

Apotema \({VM}\) a piramidei poate fi calculată aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul \({VOM}\) (dreptunghic în \({O}\)) sau în triunghiul \({VMB}\) (dreptunghic în \({M}\)).

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul \({VOM}\) dreptunghic în \({O}\), calculăm apotema piramidei în funcție de înălțimea piramidei și apotema bazei.

\({\triangle VOM \;\text{ dreptunghic} \;\text{ în} \;O \overset{T. Pitagora}{\Longrightarrow} VM^2=VO^2+OM^2}\)

\({VM=\sqrt{VO^2+OM^2}=\text{apotema} \;\text{piramidei}}\)

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul \({VMB}\) dreptunghic în \({M}\), calculăm apotema piramidei în funcție de latura bazei și muchia laterală a piramidei.

\({\triangle VMB \;\text{ dreptunghic} \;\text{ în} \;M \overset{T. Pitagora}{\Longrightarrow} VM^2=VB^2-BM^2}\)

\({VM=\sqrt{VB^2-BM^2}=\text{apotema} \;\text{piramidei}}\)