∎ Proiecții ortogonale de puncte, segmente, drepte pe plan

În loc de „proiecții ortogonale”, vom spune, pe scurt, „proiecții”.

★ Proiecția unui punct pe o dreaptă

• Ducem perpendiculara din punct pe dreaptă. Punctul de intersecție dintre această perpendiculară și dreapta dată se numește proiecția punctului pe dreaptă (se mai numește și piciorul perpendicularei din punct dat pe dreaptă).


• Altfel spus: proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct pe dreapta dată.


• Fie punctul \({A}\) exterior dreptei \({d}\). Din \({A}\) ducem perpendiculara pe \({d}\); notăm cu \({B}\) punctul de intersecție al perpendicularei cu dreapta \({d}\). Punctul \({B}\) este proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\). Scriem:



\({B=pr_{d}A}\)







• Dacă punctul aparține dreptei, atunci proiecția lui pe dreaptă este el însuși.













★ Proiecția unui punct pe un plan

• Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan.


• Fie punctul \({A}\) exterior planului \({\alpha}\). Din \({A}\) ducem perpendiculara pe \({\alpha}\) (ne amintim: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan); notăm cu \({B}\) punctul de intersecție al perpendicularei cu planul \({\alpha}\). Punctul \({B}\) este proiecția punctului \({A}\) pe planul \({\alpha}\). Scriem:



\({B=pr_{\alpha}A}\)



• Dacă punctul aparține planului, atunci el coincide cu proiecția lui pe planul respectiv.






• De exemplu, avem cubul \({ABCDA'B'C'D'}\). Proiecția punctului \({A}\) pe muchia \({A'B'}\) este punctul \({A'}\); proiecția punctului \({A}\) pe planul bazei \({(A'B'C'D')}\) este tot punctul \({A'}\).






• Reținem! Proiecția unui punct pe o dreaptă sau pe un plan este întotdeauna un punct.


• Reținem! Proiecția unui punct pe o dreaptă sau pe un plan este unică.


• Proiecțiile pe un plan a trei puncte coliniare sunt tot puncte coliniare.














★ Proiecția unui segment pe un plan

• Proiecția unui segment pe un plan se obține unind proiecțiile capetelor segmentului pe planul respectiv.


• Pasul 1: Proiectăm capetele segmentului pe planul dat;


• Pasul 2: Unim proiecțiile obținute; segmentul rezultat este proiecția segmentului dat pe acel plan.


• În funcție de poziția segmentului față de plan, avem două cazuri:


• dacă segmentul este perpendicular pe plan, atunci proiecția lui pe plan este un punct;






• dacă segmentul nu este perpendicular pe plan, atunci proiecția lui pe plan este un segment.








• Reținem! Proiecția unui segment pe un plan este tot un segment sau un punct.


• Lungimea proiecției unui segment pe un plan este cel mult egală cu lungimea segmentului dat.










★ Proiecția unei drepte pe un plan

• Proiecția unei drepte pe un plan este tot o dreaptă sau un punct.


• Pasul 1: Proiectăm două puncte ale dreptei pe planul dat;


• Pasul 2: Dreapta care trece prin cele două proiecții este proiecția dreptei date pe acel plan.


• Proiecția unei drepte pe un plan cuprinde proiecțiile tuturor punctelor de pe dreaptă pe plan.


• Pentru a proiecta o dreaptă pe un plan este suficient să proiectăm pe plan două puncte de pe dreaptă.


• În funcție de poziția segmentului față de plan, avem două cazuri:


• dacă dreapta este perpendiculară pe plan, atunci proiecția ei pe plan este un punct;





Proiecția dreptei \({d}\) pe planul \({\alpha}\) este punctul \({A}\).



• dacă dreapta nu este perpendiculară pe plan, atunci proiecția ei pe plan este o dreaptă.





Proiecția dreptei \({d}\) pe planul \({\alpha}\) este dreapta \({d'}\).





• Reținem! Proiecția unei drepte pe un plan este tot o dreaptă sau un punct.


• Dacă o dreaptă intersectează un plan, atunci punctul lor de intersecție aparține proiecției dreptei pe planul dat.






• Proiecția pe o dreaptă sau pe un plan a mijlocului unui segment este mijlocul proiecției segmentului respectiv pe planul sau dreapta dată.


• Proiecția unei figuri geometrice pe o dreaptă sau pe un plan cuprinde proiecțiile tuturor punctelor figurii pe dreapta sau planul respectiv.