∎ Exemple: unghiul dintre o dreaptă și un plan

★ Fie \({\mathit{VABC}}\) piramidă regulată, cu latura bazei egală cu \({4\;cm}\) și muchia laterală egală cu \({4\sqrt{3}\;cm}\). Să calculăm:

a) cosinusul unghiului dintre muchia laterală \({VA}\) și planul bazei \({(ABC)}\) a bazei.

b) sinusul unghiului dintre \({VA}\) și planul \({(VBC)}\).

c) tangenta unghiului dintre apotema \({VN}\) a piramidei (\({N \in BC}\)) și planul \({(ABC)}\).

d) tangenta unghiului dintre segmentul \({ND}\) (unde \({D}\) este mijlocul lui \({VA}\)) și planul \({(ABC)}\).

• a) Unghiul dintre un segment și un plan este unghiul dintre segmentul respectiv și proiecția lui pe plan.


• Proiectăm segmentul \({VA}\) pe planul \({(ABC)}\). Proiectăm capetele segmentului pe planul bazei, apoi unim proiecțiile acestor puncte.


• Proiecția vârfului \({V}\) al piramidei triunghiulare regulate pe planul bazei este centrul cercului circumscris bazei, notat cu \({O}\).


• Proiecția punctului \({A}\) pe planul bazei este tot punctul \({A}\), pentru că aparține planului respectiv.



$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle ABC \; \text{echilateral}\\ M, N \; \text{mijloacele} \; \text{laturilor} \; AB, BC \\ AN \cap CM= \{O\} \end{array} \right \} \Longrightarrow O \; \text{centrul} \; \text{cercului} \; \text{circumscris} \; \text{triunghiului} $$

$$ \left. \begin{array}{ll} \mathit{VABC} \; \text{piramida}\; \text{regulata}\\ O \; \text{centrul} \; \text{cercului} \; \text{circumscris} \; \text{bazei} \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \; \text{inaltimea} \; \text{piramidei} \Longrightarrow VO \perp (ABC) $$

\({ \Longrightarrow pr_{(ABC)}V=O}\)

\({pr_{(ABC)}A=A \; \; \text{pentru} \; \text{ca} \; A \in (ABC)}\)

• Rezultă că proiecția segmentului \({VA}\) pe planul bazei este segmentul \({OA}\). Înseamnă că unghiul dintre \({VA}\) și planul bazei \({(ABC)}\) este unghiul format de \({VA}\) și \({AO}\), adică unghiul \({VAO}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} pr_{(ABC)}V=O \\ pr_{(ABC)}A=A \end{array} \right \} \Longrightarrow pr_{(ABC)}VA=OA $$

\({\sphericalangle (VA, (ABC))=\sphericalangle (VA,OA)=\sphericalangle VAO}\)

• Pentru a calcula cosinusul unghiului \({VAO}\), identificăm un triunghi dreptunghic care îl conține.


• Observăm că triunghiul \({VOA}\) este dreptunghic în \({O}\), pentru că \({VO}\) este înălțime în piramidă; ea este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe toate dreptele din acest plan. Rezultă că \({VO}\) este perpendiculară pe \({OA}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} AO \subset (ABC)\\ VO \perp (ABC) \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp AO \Longrightarrow \triangle VOA \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \;O $$

• Cosinusul unui unghi este egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză. Deci cosinusul unghiului \({VAO}\) este egal cu raportul dintre \({OA}\) și \({VA}\).



\({\text{cos} \; \sphericalangle VAO=\frac{\displaystyle OA}{\displaystyle VA}}\)

• Lungimea muchiei laterale \({VA}\) este egală cu \({4\sqrt{3}\;cm}\).


• Să calculăm lungimea segmentului \({OA}\). Punctul \({O}\) este centrul cercului circumscris bazei; de asemenea, este centru de greutate pentru triunghiul bazei. El se află pe mediana \({AN}\), la două treimi de vârful \({A}\) și o treime de punctul \({N}\).


• Calculăm lungimea segmentului \({AN}\). Acest segment este mediană și înălțime în triunghiul echilateral \({ABC}\). Rezultă că \({AN}\) este catetă în triunghiul dreptunghic \({ANB}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și obținem lungimea segmentului \({AN}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle ABC \; \text{echilateral}\\ N \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \;BC \end{array} \right \} \Longrightarrow AN \; \text{mediana} \; \text{si} \; \text{inaltime}\;\Longrightarrow AN \perp BC \; \text{si} \; NB=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2}=2 \; cm $$

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle ANB \; \text{dreptunghic}\; \text{in} \; N\\ AB=4 \;cm \\ NB=2 \;cm \end{array} \right \} \overset{T. \;Pitagora}\Longrightarrow AN^2=AB^2-NB^2=4^2-2^2=16-4=12 $$

\({\Longrightarrow AN=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \;cm}\)

• Revenim la calculul lungimii segmentului \({OA}\). Acesta este egal cu două treimi din \({AN}\).



\({OA=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AN=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot 2\sqrt{3}=\frac{\displaystyle 4\sqrt{3}}{\displaystyle 3}\;cm}\)

• Revenim la calculul cosinusului unghiului \({VAO}\).



\({\text{cos} \; \sphericalangle VAO=\frac{\displaystyle OA}{\displaystyle VA}=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 4\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}{\displaystyle 4\sqrt{3}}=\frac{\displaystyle \cancel{4\sqrt{3}}}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{4\sqrt{3}}} =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\)

• Am obținut \({\text{cos} \; \sphericalangle VAO=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\).







• b) Pentru a calcula sinusul unghiului dintre \({VA}\) și planul \({(VBC)}\), trebuie mai întâi să identificăm acest unghi.
• Proiectăm segmentul \({VA}\) pe planul \({(VBC)}\). Unghiul dintre segmentul \({VA}\) și proiecția lui pe plan este unghiul căutat.





• Cum proiectăm un segment pe un plan? Proiectăm capetele segmentului pe plan. Proiecția punctului \({V}\) pe planul \({(VBC)}\) este chiar punctul \({V}\), pentru că el aparține planului.

\({pr_{(VBC)}V=V}\)

\({pr_{(VBC)}A=?}\)

• Să găsim acum proiecția punctului \({A}\) pe planul \({(VBC)}\). Trebuie să ducem perpendiculara din acest punct pe plan. Trebuie să aflăm unde anume pe plan „cade” această perpendiculară.
• Segmentul \({BC}\) este perpendicular pe apotema \({VN}\) apiramidei și pe înălțimea \({AN}\) a triunghiului de la baza piramidei. Cum \({VN}\) și \({AN}\) sunt concurente, rezultă că \({BC}\) este perpendicular pe planul determinat de \({VN}\) și \({AN}\), adică \({BC}\) este perpendicular pe planul \({(VAN)}\).


• Deoarece \({BC}\) este inclus în planul \({(VBC)}\), rezultă că planele \({(VAN)}\) și \({(VBC)}\) sunt perpendiculare, iar \({VN}\) este dreapta comună.


• Considerăm triunghiul \({VAN}\) și \({AE}\) înălțimea din vârful \({A}\), cu \({E \in VN}\). Cum planele \({(VAN)}\) și \({(VBC)}\) sunt perpendiculare, iar \({AE}\) este inclusă în planul \({(VAN)}\) și este perpendiculară pe dreapta comună \({VN}\), rezultă că \({AE}\) este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\). Am obținut că punctul \({E}\) este proiecția punctului \({A}\) pe planul \({(VBC)}\).






• Rezultă că proiecția lui \({VA}\) pe planul \({(VBC)}\) este \({VE}\). Înseamnă că unghiul dintre \({VA}\) și planul \({(VBC)}\) este egal cu unghiul dintre \({VA}\) și \({VE}\), adică este egal cu unghiul \({AVE}\) (sau cu unghiul \({AVN}\)).



$$ \left. \begin{array}{ll} N \; \text{mijlocul}\; \text{lui} \; BC\\ \mathit{VABC} \; \text{piramida}\; \text{regulata} \end{array} \right \} \Longrightarrow VN \; \text{apotema}\; \text{piramidei} \; \Longrightarrow VN \perp BC $$

\({\triangle ABC \; \text{echilateral}\; \Longrightarrow AN \perp BC}\)

$$ \left. \begin{array}{ll} BC \perp VN \\ BC \perp AN \\ VN \cap AN= \{N\} \end{array} \right \} \Longrightarrow BC \perp (VAN) $$

$$ \left. \begin{array}{ll} BC \subset (VBC) \\ BC \perp (VAN) \end{array} \right \} \Longrightarrow (VBC) \perp (VAN) $$

Fie \({AE}\) înălțime în triunghiul \({VAN}\), cu \({E \in VN }\) \({\Longrightarrow AE \perp VN }\)

$$ \left. \begin{array}{ll} AE \subset (VAN) \\ AE \perp VN \\ (VBC) \perp (VAN) \\ (VBC) \cap (VAN) = VN \end{array} \right \} \Longrightarrow AE \perp (VBC) \Longrightarrow pr_{(VBC)}A=E $$

$$ \left. \begin{array}{ll} pr_{(VBC)}V=V \\ pr_{(VBC)}A=E \end{array} \right \} \Longrightarrow pr_{(VBC)}VA=VE $$

\({\Longrightarrow \sphericalangle (VA, (VBC))=\sphericalangle (VA, VE)=\sphericalangle AVE}\)

• Pentru a calcula sinusul unghiului \({AVE}\), includem acest unghi într-un triunghi dreptunghic. Observăm că triunghiul \({VEA}\) dreptunghic în \({E}\) include acest unghi.


• Sinusul unui unghi este egal cu raportul dintre cateta opusă supra ipotenuză; rezultă că sinusul unghiului \({AVE}\) este egal cu raportul \({\frac{\displaystyle AE}{\displaystyle VA}}\).



\({\text{sin} \; \sphericalangle AVE=\frac{\displaystyle AE}{\displaystyle VA}}\)

• Știm că \({VA=4\sqrt{3} \; cm}\) (din enunț). Trebuie să calculăm lungimea segmentului \({AE}\).


• Observăm că \({AE}\) este înălțime în triunghiul \({VAN}\). Scriem aria acestui triunghi, alegând baza în două moduri.



\({A_{VAN}=\frac{\displaystyle AN \cdot VO}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle VN \cdot AE}{\displaystyle 2} \;\;\;\;\;(*)}\)

• Am calculat mai devreme lungimea segmentului \({AN}\) (egal cu \({AN=2\sqrt{3} \;cm}\)).


• Calculăm lungimea înălțimii \({VO}\) a piramidei. Aceasta este catetă în triunghiul \({VOA}\) dreptunghic în \({O}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și calculăm lungimea lui \({VO}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} VO \perp (ABC) \\ AO \subset (ABC) \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp AO \Longrightarrow \triangle VOA \; \text{dreptunghic}\; \text{in}\; O $$

\({\overset{T.\; Pitagora}\Longrightarrow VO^2=VA^2-AO^2}\)




\({VO^2=VA^2-AO^2}\)

\({\textcolor{white}{VO^2}=(4\sqrt{3})^2 -\left(\frac{\displaystyle 4\sqrt{3}}{\displaystyle 3}\right)^2}\)

\({\textcolor{white}{VO^2}=16 \cdot 3 -\frac{\displaystyle 16 \cdot \cancel{3}}{\displaystyle \cancel{9}_3}}\)

\({\textcolor{white}{VO^2}=\frac{\displaystyle 16 \cdot 9-16}{\displaystyle 3}}\)

\({\textcolor{white}{VO^2}=\frac{\displaystyle 16 \cdot (9-1)}{\displaystyle 3}}\)

\({VO^2=\frac{\displaystyle 128}{\displaystyle 3}}\)




\({VO=\frac{\displaystyle \sqrt{128}}{\displaystyle \sqrt{3}}}\)

\({\textcolor{white}{VO}=\frac{\displaystyle \sqrt{2^7}}{\displaystyle \sqrt{3}}}\)

\({\textcolor{white}{VO}=\frac{\displaystyle 8\sqrt{2}}{\displaystyle \sqrt{3}}}\)

\({\textcolor{white}{VO}=\frac{\displaystyle 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}\)

\({VO=\frac{\displaystyle 8\sqrt{6}}{\displaystyle 3}}\)

• Calculăm lungimea apotemei \({VN}\) a piramidei. Aceasta este catetă în triunghiul \({VNB}\) dreptunghic în \({N}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și calculăm lungimea lui \({VN}\).



\({\mathit{VABC} \;\text{piramida} \;\text{regulata} \; \Longrightarrow \triangle VBC \;\text{isoscel,} \; VB=CV}\)

$$ \left. \begin{array}{ll} N \; \text{mijlocul}\; \text{lui}\; BC\\ \triangle VBC \;\text{isoscel,} \; VB=CV \end{array} \right \} \Longrightarrow VN \perp BC \Longrightarrow \triangle VNB \; \text{dreptunghic}\; \text{in}\; N $$

\({\overset{T.\; Pitagora}\Longrightarrow VN^2=VB^2-NB^2}\)




\({VN^2=VB^2-\left(\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2}\right)^2}\)

\({\textcolor{white}{VN^2}=(4\sqrt{3})^2 -\left(\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2}\right)^2}\)

\({\textcolor{white}{VN^2}=16 \cdot 3 -4}\)

\({\textcolor{white}{VN^2}=48 -4}\)

\({VN^2=44}\)




\({VN=\sqrt{44}}\)

\({\textcolor{white}{VN}=2\sqrt{11}}\)

• Revenim la calculul segmentului \({AE}\). Înlocuim pe \({AN}\), \({VO}\) și \({VN}\) în \({(*)}\).



\({A_{VAN}=\frac{\displaystyle AN \cdot VO}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle VN \cdot AE}{\displaystyle 2} \,\, \mid \cdot 2}\)

\({AN \cdot VO=VN \cdot AE }\)

\({\cancel{2}\bcancel{\sqrt{3}} \cdot \frac{\displaystyle 8\bcancel{\sqrt{6}}^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \bcancel{3}}=\cancel{2}\sqrt{11} \cdot AE }\)

\({8\sqrt{2}=\sqrt{11} \cdot AE }\)

\({AE=\frac{\displaystyle 8\sqrt{2}}{\displaystyle \sqrt{11}}= \frac{\displaystyle 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{11}}{\displaystyle \sqrt{11} \cdot \sqrt{11}}=\frac{\displaystyle 8\sqrt{22}}{\displaystyle 11}}\)

• Acum putem calcula sinusul unghiului \({AVE}\).



\({\text{sin} \; \sphericalangle AVE=\frac{\displaystyle AE}{\displaystyle VA}}\)

\({AE=\frac{\displaystyle 8\sqrt{22}}{\displaystyle 11} }\)

\({VA=4\sqrt{3}}\)

\({\text{sin} \; \sphericalangle AVE=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle 8\sqrt{22}}{\displaystyle 11}}{\displaystyle 4\sqrt{3}}= \frac{\displaystyle \cancel{8}^2\sqrt{22}}{\displaystyle 11} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{4}\sqrt{3}} = \frac{\displaystyle 2\sqrt{22} \cdot \sqrt{3} }{\displaystyle 11 \cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\displaystyle 2\sqrt{66}}{\displaystyle 33}}\)








• c) Pentru a calcula tangenta unghiului dintre apotema \({VN}\) a piramidei și planul \({(ABC)}\), trebuie mai întâi să identificăm acest unghi.
• Unghiul dintre \({VN}\) și planul \({(ABC)}\) este egal cu unghiul dintre \({VN}\) și proiecția acestui segment pe planul \({(ABC)}\).
• Proiectăm capetele segmentului \({VN}\) pe planul \({(ABC)}\). Proiecția lui \({V}\) pe planul \({(ABC)}\) este punctul \({O}\) pentru că \({VO \perp (ABC)}\). Proiecția lui \({N}\) pe planul \({(ABC)}\) este tot punctul \({N}\), pentru că acest punct aparține planului bazei piramidei.
• Rezultă că unghiul dintre \({VN}\) și planul \({(ABC)}\) este egal cu unghiul dintre \({VN}\) și \({ON}\), adică este egal cu unghiul \({VNO}\) (sau este egal cu unghiul \({VNA}\)).






$$ \left. \begin{array}{ll} VO \perp (ABC) \Longrightarrow pr_{(ABC)}V=O\\ N \in (ABC ) \Longrightarrow pr_{(ABC)}N=N \end{array} \right \} \Longrightarrow pr_{(ABC)}VN=ON $$

\({ \Longrightarrow \sphericalangle (VN, (ABC))=\sphericalangle (VN, ON)=\sphericalangle VNO}\)

• Pentru a calcula tangenta unui unghi, căutăm un triunghi dreptunghic care conține unghiul respectiv. Observăm că triunghiul \({VON}\) dreptunghic în \({O}\) conține unghiul \({VNO}\). Tangenta unui unghi este egală cu raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată unghiului. Deci tangenta unghiului \({VNO}\) este egală cu raportul dintre \({VO}\) și \({ON}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} VO \perp (ABC) \\ AN \subset (ABC ) \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp AN \Longrightarrow \triangle VON \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; O $$

\({ \Longrightarrow \text{tg} \; \sphericalangle VNO=\frac{ \displaystyle VO}{ \displaystyle ON} }\)

• La subpunctul a) am arătat că punctul \({O}\) este la o treime de \({BC}\), deci \({ON}\) este o treime din \({AN}\). Am calculat că \({AN}\) este egal cu \({2\sqrt{3} \; cm}\). Calculăm lungimea segmentului \({ON}\).

\({AN=2\sqrt{3} \; cm}\)

\({ON=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}AN=\frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle 3} \; cm}\)

• La subpunctul b) am calculat lungimea înălțimii piramidei.

\({VO=\frac{\displaystyle 8\sqrt{6}}{\displaystyle 3}}\)

\({ \text{tg} \; \sphericalangle VNO=\frac{ \displaystyle VO}{ \displaystyle ON} =\frac{ \displaystyle \frac{\displaystyle 8\sqrt{6}}{\displaystyle 3}}{ \displaystyle \frac{\displaystyle 2\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}=\frac{\displaystyle \cancel{8}^4\cancel{\sqrt{6}}^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{3}}{\displaystyle \cancel{2}\cancel{\sqrt{3}}}=4\sqrt{2}}\)




\({ \text{tg} \; \sphericalangle VNO=4\sqrt{2}}\)








• d) Fie \({D}\) mijlocul lui \({VA}\). Pentru a calcula tangenta unghiului dintre \({ND}\) și planul \({(ABC)}\), trebuie mai întâi să identificăm acest unghi.





• Unghiul dintre \({ND}\) și planul \({(ABC)}\) este egal cu unghiul dintre \({ND}\) și proiecția acestui segment pe planul \({(ABC)}\).
• Pentru a stabili care este proiecția lui \({ND}\) pe planul \({(ABC)}\), proiectăm capetele \({N}\) și \({D}\) pe planul \({(ABC)}\).
• Punctul \({N}\) aparține planului \({(ABC)}\), deci proiecția lui pe plan este el însuși.



\({ pr_{(ABC)}N=N \; \text{pentru} \; \text{ca} \; N \in (ABC)}\)

• Să vedem care este proiecția lui \({D}\) pe planul \({(ABC)}\).
• În triunghiul \({VAO}\), fie \({DF \parallel VO}\), unde \({F \in AO}\). Deoarece \({VO}\) este perpendiculară pe planul \({(ABC)}\), rezultă că \({DF}\) este perpendiculară și ea pe acest plan. Înseamnă că proiecția lui \({D}\) pe planul \({(ABC)}\) este punctul \({F}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} \text{Fie} \; DF \parallel VO, F \in AO \\ VO \perp (ABC ) \end{array} \right \} \Longrightarrow DF \perp (ABC) \Longrightarrow pr_{(ABC)}D=F $$

$$ \left. \begin{array}{ll} pr_{(ABC)}N=N \\ pr_{(ABC)}D=F \end{array} \right \} \Longrightarrow pr_{(ABC)}ND=NF $$

\({ \Longrightarrow \sphericalangle (ND, (ABC))=\sphericalangle (ND,NF)=\sphericalangle DNF}\)

• Pentru a calcula tangenta unghiului \({DNF}\), căutăm un triunghi dreptunghic care să-l conțină. Observăm că triunghiul \({DFN}\) este dreptunghic în \({F}\) (pentru că \({DF}\) este perpendiculară pe planul \({(ABC)}\), deci este perpendiculară și pe \({AN}\) inclusă în acest plan). Tangenta unui unghi este egală cu raportul dintre cateta opusă supra cateta alăturată, deci tangenta unghiului \({DNF}\) este egală cu raportul dintre \({DF}\) și \({FN}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} DF \perp (ABC) \\ AN \subset (ABC) \end{array} \right \} \Longrightarrow DF \perp AN \Longrightarrow \triangle DFN \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; F $$

\({ \Longrightarrow \text{tg} \; \sphericalangle DNF=\frac{\displaystyle DF}{\displaystyle FN}}\)

• Trebuie să calculăm lungimile segmentelor \({DF}\) și \({FN}\).
• Calculăm lungimea segmentului \({DF}\). Deoarece \({DF \parallel VO}\), rezultă că triunghiurile \({AFD}\) și \({AOV}\) sunt asemenea. Scriem rapoartele de asemănare, apoi calculăm lungimea lui \({DF}\).



\({ DF \parallel VO \Longrightarrow \triangle AFD \equiv \triangle AOV \Longrightarrow \frac{\displaystyle AF}{\displaystyle AO}=\frac{\displaystyle FD}{\displaystyle OV}=\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle AV}}\)

• Punctul \({D}\) este mijlocul lui \({VA}\), deci raportul \({\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle AV}}\) este egal cu \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\).
• Lungimea înălțimii \({VO}\) am calculat-o; \({VO=\frac{\displaystyle 8\sqrt{6}}{\displaystyle 3}}\).

\({ \frac{\displaystyle FD}{\displaystyle \frac{\displaystyle 8\sqrt{6}}{\displaystyle 3}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

\({ FD=\frac{\displaystyle \cancel{8}^4\sqrt{6}}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{2}}=\frac{\displaystyle 4\sqrt{6}}{\displaystyle 3}}\)

• Calculăm lungimea segmentului \({FN}\). Deoarece \({DF \parallel VO}\) și \({D}\) este mijlocul lui \({VA}\), rezultă că \({DF}\) este linie mijlocie în triunghiul \({AOV}\), deci \({F}\) este mijlocul lui \({AO}\). Rezultă că segmentele \({AF}\), \({FO}\) și \({ON}\) sunt egale cu o treime din \({AN}\). Înseamnă că \({FN=AO=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AN=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot 2\sqrt{3}=\frac{\displaystyle 4\sqrt{3}}{\displaystyle 3} \; cm}\).
• Altfel: putem demonstra că \({F}\) este mijlocul lui \({AO}\) folosind raportul \({ \frac{\displaystyle AF}{\displaystyle AO}=\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle AV} =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} DF \parallel VO \\ D \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; VA \end{array} \right \} \Longrightarrow DF \; \text{linie} \; \text{mijlocie} \;\text{in} \; \triangle AOV $$

\({ \Longrightarrow F \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; AO \Longrightarrow AF=FO=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}AO=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{2}} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{2}}{\displaystyle 3}AN=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}AN=ON}\)

\({AO=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AN}\)

\({ FN=ON+FO=AF+FO=AO= \frac{\displaystyle 4\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}\)

• Revenim la calculul tangentei unghiului \({DNF}\).

\({ \text{tg} \; \sphericalangle DNF=\frac{\displaystyle DF}{\displaystyle FN}=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle \cancel{4}\cancel{\sqrt{6}}^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \cancel{3}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle \cancel{4}\cancel{\sqrt{3}}}{\displaystyle \cancel{3}}}=\sqrt{2}}\)

\({ \text{tg} \; \sphericalangle DNF=\sqrt{2}}\)