∎ Calculul elementelor bazei în piramida regulată triunghiulară

Fie \({\mathit {VABC}}\) o piramidă regulată triunghiulară. Baza ei este triunghiul echilateral \({\triangle ABC}\) de latură \({a}\). Centrul acestuia este centrul cercului circumscris; se află la intersecția mediatoarelor triunghiului. Fiind triunghi echilateral, mediatoarele laturilor coincid cu medianele acestora, bisectoarele și înălțimile triunghiului.

Fie \({O}\) centrul triunghiului \({ ABC}\). Distanțele de la \({O}\) la vârfurile triunghiului sunt egale cu razele cercului circumscris triunghiului.

Segmentele care unesc punctul \({O}\) cu mijloacele laturilor triunghiului \({ ABC}\) sunt perpendiculare pe aceste laturi și sunt congruente; se numesc apotemele bazei piramidei.

Vom calcula lungimea înălțimii triunghiului echilateral, raza cercului circumscris triunghiului echilateral de la baza piramidei și apotema acestui triunghi.

În \({\triangle ABC}\) putem calcula lungimile segmentelor \({AM}\) (mediană, înălțime, bisectoare, mediatoare), \({OM}\) (apotema bazei), \({AO}\) (raza cercului circumscris triunghiului bazei).

Înălțimea \({AM}\) o calculăm din \({\triangle AMB}\) dreptunghic în \({M}\), aplicând teorema lui Pitagora:

\({AM^2=AB^2-BM^2=a^2-\left(\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}\right)^2=a^2-\frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle 3a^2}{\displaystyle 4}}\)

\({AM=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 2}=BN=CP}\)

Punctul \({O}\) este centrul cercului circumscris triunghiului \({ABC}\); se află la o treime de latură și două treimi de vârf.

\({OM=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}AM=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 6}}\)

\({OM=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 6}=\text{apotema} \;\text{bazei}=ON=OP}\)

\({AO=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AM=\frac{\displaystyle \cancel{2}}{\displaystyle 3} \cdot \frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle \cancel{2}}=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}\)

\({AO=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 3}=BO=CO=\text{raza} \;\text{cerc} \;\text{circumscris} \;\text{bazei}}\)