∎ Plane paralele

• Două plane care nu au niciun punct comun se numesc plane paralele. Scriem \({\alpha \parallel \beta}\) și citim „planul alfa este paralel cu planul beta”.


• Exemple de plane paralele: două fețe opuse ale unei cutii (paralelipiped) sunt paralele; bazele unui cilindru sunt plane paralele.


• Cum desenem două plane paralele?


• desenăm două paralelograme cu laturile respectiv paralele


• sau desenăm două unghiuri cu laturile respectiv paralele.












• Dacă două drepte concurente incluse în planul \({\alpha}\) sunt respectiv paralele cu două drepte incluse în planul \({\beta}\), atunci cele două plane sunt paralele.



Altfel spus, dacă printr-un punct exterior unui plan ducem două drepte paralele cu două drepte concurente incluse în acel plan, atunci aceste drepte determină un plan paralel cu planul dat.




Cum arătăm că două plane sunt paralele? Identificăm două drepte concurente \({a}\) și \({b}\) în planul \({\alpha}\) și două drepte \({c}\) și \({d}\) în planul \({\beta}\) astfel încât \({a \parallel c}\) și \({b \parallel d}\).







$$ \left. \begin{array}{ll} a, b \subset \alpha \\ a \cap b=\{A \}\\ c, d \subset \beta \\ c \cap d=\{B \} \\ a \parallel c \\ b \parallel d \end{array} \right \} \Longrightarrow \alpha \parallel \beta $$



• Printr-un punct exterior unui plan se poate construi un sigur plan paralel cu planul dat.


• Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreaptă dintr-unul dintre plane este paralelă cu celălalt plan.


• Două plane diferite, paralele cu al treilea plan, sunt paralele între ele (proprietatea de tranzitivitatea a relației de paralelism).







• Fie două plane paralele. Dacă un al treilea plan îl intersectează pe unul dintre planele date, atunci îl intersectează și pe celălalt, iar dreptele de intersecție sunt paralele.






$$ \left. \begin{array}{ll} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma=a \end{array} \right \} \Longrightarrow \beta \cap \gamma = b \; \text{și} \; a \parallel b $$

• Două plane paralele determină segmente congruente pe două drepte paralele pe care le intersectează.






$$ \left. \begin{array}{ll} \alpha \parallel \beta \\ a \parallel b\\ \alpha \subset a = \{A \} \\ \alpha \subset b=\{B \} \\ \beta \subset a = \{C \} \\ \beta \subset b=\{D \} \end{array} \right \} \Longrightarrow AC \equiv BD $$

• Teorema lui Thales în spațiu: Trei sau mai multe plane paralele determină pe două drepte oarecare, care le intersectează, segmente respectiv proporționale.






$$ \left. \begin{array}{ll} \alpha \parallel \beta \parallel \gamma \\ a, b \; \text{-} \; \text{secante} \end{array} \right \} \Longrightarrow \frac{\displaystyle AB}{\displaystyle BC} = \frac{\displaystyle A'B'}{\displaystyle B'C'} $$