∎ Exemple: distanța de la un punct la un plan

• Distanța de la vârful unei piramide regulate la planul bazei este egală cu înălțimea piramidei.











• Distanța de la un punct aflat pe muchia laterală a unei piramide regulate la planul bazei:



Fie \({Q}\) un punct pe muchia laterală \({VA}\) a piramidei regulate \({\mathit{VABCD}}\). Vrem să aflăm care este distanța de la punctul \({Q}\) la planul bazei piramidei.

Din punctul \({Q}\) ducem paralela la înălțimea piramidei; această paralelă intersectează planul bazei într-un punct pe care-l vom numi \({S}\). Segmentul \({QS}\) este distanța de la punctul \({Q}\) la planul bazei piramidei date.

Obținem două triunghiuri dreptunghice asemenea; din raportul de asemănare putem găsi formula pentru calculul distanței cerute.







În \({\triangle AOV}\) dreptunghic în \({O}\), fie \({QS \parallel VO}\), \({Q \in VA}\), \({S \in AC}\).

Deoarece \({VO }\) este înălțime în piramida regulată, înseamnă că este perpendiculară pe planul bazei. Cum \({QS }\) este paralelă cu \({VO }\), rezultă că \({QS }\) este și ea perpendiculară pe planul \({(ABC) }\). Rezultă că distanța de la \({Q}\) la planul \({(ABC) }\) este egală cu \({QS }\).

\({QS }\) și \({VO }\) sunt paralele; rezultă că triunghiurile dreptunghice \({ASQ }\) și \({AOV }\) sunt asemenea. Scriem raportul de asemănare și apoi calculăm distanța \({QS }\).




$$ \left. \begin{array}{ll} VO \perp (ABC) \\ QS \perp VO \end{array} \right \} \Longrightarrow QS \perp (ABC) \Longrightarrow d(Q, (ABC))=QS $$

\({QS \parallel VO \Longrightarrow \triangle ASQ \equiv \triangle AOV}\) \({ \Longrightarrow \frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AO} = \frac{\displaystyle AQ}{\displaystyle AV}=\textcolor{#ff1493}{\frac{\displaystyle SQ}{\displaystyle OV}}}\)

\({d(Q, (ABC))=QS=\frac{\displaystyle AQ \cdot VO}{\displaystyle VA}=\frac{\displaystyle AS \cdot VO}{\displaystyle AO}}\)








• Distanța de la centrul bazei la planul unei fețe laterale:



Fie piramida patrulateră regulată \({\mathit{VABCD}}\).

Distanța de la centrul \({O}\) la planul \({(VBC)}\) este segmentul care are capetele în punctul \({O}\) și în piciorul perpendicularei din \({O}\) pe plan. Înseamnă că trebuie să ducem perpendiculara din \({O}\) pe planul \({(VBC)}\). Întrebarea căreia trebuie să-i răspundem este unde anume pe planul \({(VBC)}\) „cade” această perpendiculară. Altfel spus, trebuie să determinăm ce punct de pe planul \({(VBC)}\) este piciorul perpendicularei din \({O}\) pe \({(VBC)}\).

Înainte de a începe demonstrația, vom analiza puțin problema. Din punctul \({O}\) avem deja patru segmente care au celălalt capăt în planul \({(VBC)}\). Să vedem dacă aceste segmente sunt perpendiculare pe \({BC}\).






• să vedem dacă segmentul \({OV}\), cu \({V \in (VBC)}\), este perpendicular pe acest plan; nu poate fi, pentru că triunghiul \({VOM}\) este dreptunghic în \({O}\); am avea două unghiuri drepte într-un triunghi, ceea ce nu se poate; deci \({OV}\) nu este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\).


• la fel gândim și pentru segmentul \({OM}\);


• să vedem dacă segmentul \({OC}\), cu \({C \in (VBC)}\), este perpendicular pe acest plan; nu poate fi, pentru că triunghiul \({VOC}\) este dreptunghic în \({O}\); am avea două unghiuri drepte într-un triunghi, ceea ce nu se poate; deci \({OV}\) nu este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\).


• să vedem dacă segmentul \({OB}\), cu \({B \in (VBC)}\), este perpendicular pe acest plan; nu poate fi, pentru că triunghiul \({VOB}\) este dreptunghic în \({O}\); am avea două unghiuri drepte într-un triunghi, ceea ce nu se poate; deci \({OB}\) nu este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\).



Înseamnă că trebuie să construim perpendiculara din \({O}\) pe planul \({(VBC)}\). Nu știm unde va fi piciorul ei. De obicei, alegem un triunghi și construim înălțimea. Să vedem ce triunghiuri avem disponibile, care au un vârf în \({O}\) și o latură în planul \({(VBC)}\).

• am putea construi înălțimea din \({O}\) pe ipotenuza VB în triunghiul VOB dreptunghic în \({O}\);


• am putea construi înălțimea din \({O}\) pe ipotenuza \({VM}\) în triunghiul \({VOM}\) dreptunghic în \({O}\);


• am putea construi înălțimea din \({O}\) pe ipotenuza \({CV}\) în triunghiul \({VOC}\) dreptunghic în \({O}\);


• este una dintre aceste înălțimi perpendiculară pe planul \({(VBC)}\)?



Selectăm din desen doar porțiunea care ne interesează. Observăm că avem o piramidă cu vârful în \({O}\) și baza triunghiul isoscel \({VBC}\). Fețele laterale sunt toate triunghiuri dreptunghice în \({O}\). Punctul \({M}\) este mijlocul lui \({BC}\), \({VM}\) este axă de simetrie pentru acest triunghi. Cel mai probabil înălțimea acestei mici piramide se află în planul \({(VOM)}\); desenăm înălțimea \({ON}\) a triunghiului \({VOM}\), cu \({N}\) aparține lui \({VM}\). Vom încerca să demonstrăm că \({ON}\) este perpendiculară de planul \({(VBC)}\), adică vom demonstra că \({ON}\) este distanța de la \({O}\) la planul \({(VBC)}\).







Avem piramida regulată \({\mathit{VABCD}}\). Fie \({M}\) mijlocul laturii \({BC}\). Rezultă că \({OM \perp BC}\) și \({VM \perp BC}\) (\({OM}\) este apotema bazei, iar \({VM}\) este apotema piramidei).




$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; \text{patrat} \\ M \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; BC \end{array} \right \} \Longrightarrow OM \perp BC $$

\({OM\; \text{apotema} \; \text{bazei}}\)




$$ \left. \begin{array}{ll} \mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata}\\ AC \cap CB=\{O\} \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp (ABC) $$

\({VO\; \text{inaltimea} \; \text{piramidei}}\)

\({\mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata}}\) \({\Longrightarrow \triangle VBC \; \text{isoscel} \Longrightarrow VM \perp BC}\)

\({VM \; \text{apotema} \; \text{piramidei}}\)









Metoda 1




Deoarece \({BC}\) este perpendiculară pe dreptele concurente \({OM}\) și \({VM}\) din planul \({(VOM)}\), rezultă că \({BC}\) este perpendiculară pe acest plan.




$$ \left. \begin{array}{ll} BC \perp OM \\ BC \perp VM \\ OM \cap VM=\{M\} \end{array} \right \} \Longrightarrow BC \perp (VOM) $$

Fie \({ON \perp VM}\), cu \({N \in VM}\) înălțime în triunghiul \({VOM}\) dreptunghic în \({O}\).

Dreapta \({BC}\) este perpendiculară pe planul \({(VOM)}\), deci este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan. Cum \({ON}\) este inclusă în planul \({(VOM)}\), rezultă că \({BC}\) este perpendiculară pe \({ON}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} ON \subset (VOM) \\ BC \perp (VOM) \end{array} \right \} \Longrightarrow ON \perp BC $$

Am obținut că \({ON}\) este perpendiculară pe dreptele concurente \({BC}\) și \({VM}\), deci este perpendiculară pe planul determinat de acestea. Rezultă că \({ON}\) este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\). Am obținut că distanța de la centrul \({O}\) al bazei la fața laterală \({VBC}\) este egală cu lungimea segmentului \({ON}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} ON \perp VM \\ ON \perp BC \\ VM \cap BC =\{M\} \end{array} \right \} \Longrightarrow ON \perp (VBC) \Longrightarrow d(O, (VBC))=ON $$







Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii din vârful unghiului drept se calculează cu formula \({inaltimea_{\triangle dr.}=\frac{\displaystyle cateta1 \cdot cateta2}{\displaystyle ipotenuza}}\). Aplicăm această formulă pentru a calcula lungimea segmentului \({ON}\).

\({d(O, (VBC))=ON=\frac{\displaystyle OM \cdot VO}{\displaystyle VM}=\frac{\displaystyle a_b \cdot h}{\displaystyle a_p}}\)

\({a_b \; \text{apotema} \; \text{bazei}}\)

\({h \; \text{inaltimea} \; \text{piramidei}}\)

\({a_p \; \text{apotema} \; \text{piramidei}}\)









Metoda 2




Pentru a demonstra că \({ON}\) este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\), putem aplica reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare. Avem planul \({(VBC)}\), punctul \({O}\) care nu aparține planului, punctul \({M}\) care aparține planului și dreapta \({BC}\) inclusă în plan. Apotema \({OM}\) a bazei este perpendiculară pe \({BC}\); apotema \({VM}\) apiramidei este și ea perpendiculară pe \({BC}\). Segmentul \({ON}\) este înălțime în triunghiul \({VOM}\) dreptunghic în \({O}\). Conform reciprocei teoremei celor trei perpendiculare, \({ON}\) este perpendiculară pe planul \({(VBC})\).

$$ \left. \begin{array}{ll} BC \subset (VBC) \\ M \in BC \\ OM \perp BC, O \not\in (VBC)\\ VM \perp BC, \;V \in (VBC)\\ ON \perp VM \end{array} \right \} \overset{R2 \; T3P}\Longrightarrow ON \perp (VBC) \Longrightarrow d(O, (VBC))=ON $$









Metoda 3




Pentru a demonstra că \({ON}\) este perpendiculară pe planul \({(VBC)}\), putem folosi proprietățile planelor perpendiculare.

Deoarece \({BC}\) este perpendiculară pe segmentele concurente \({VM}\) și \({OM}\) (apotema piramidei, respectiv a bazei), rezultă că \({BC}\) este perpendiculară pe planul determinat de aceste apoteme, adică \({BC}\) este perpendiculară pe planul \({(VOM)}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} VM \; \text{apotema} \; \text{piramidei} \Longrightarrow BC \perp VM\\ OM \; \text{apotema} \; \text{bazei} \Longrightarrow BC \perp OM\\ OM \cap VM =\{M\} \end{array} \right \} \Longrightarrow BC \perp (VOM) $$

Știm că dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci orice plan care conține acea dreaptă este perpendicular pe planul respectiv. Deoarece \({BC}\) este perpendiculară pe planul \({(VOM)}\), iar \({BC}\) este inclusă în planul \({(VBC)}\), rezultă că cele două plane sunt perpendiculare, adică \({(VOM) \perp (VBC) }\).

$$ \left. \begin{array}{ll} BC \perp (VOM)\\ BC \subset (VBC) \end{array} \right \} \Longrightarrow (VOM) \perp (VBC) $$

Mai știm că dacă două plane sunt perpendiculare și o dreaptă din primul plan este perpendiculară pe dreapta comună a acelor două plane, atunci dreapta din primul plan este perpendiculară pe al doilea plan. Dreapta comună a planelor perpendiculare \({VOM}\) și \({VBC}\) este \({VM}\). Segmentul \({ON}\) este perpendicular pe \({VM}\) (așa l-am construit). Rezultă că segmentul \({ON}\) este perpendicular pe planul \({(VBC)}\), deci distanța de la centrul bazei piramidei la fața laterală este egală cu lungimea perpendicularei din centrul bazei pe apotema piramidei regulate.

$$ \left. \begin{array}{ll} (VOM) \perp (VBC) \\ (VOM) \cap (VBC) = VM \\ ON \perp VM, \; N \in VM\\ ON \subset (VBC) \end{array} \right \} \Longrightarrow ON \perp (VBC) \Longrightarrow d(O, (VBC))=ON $$









Metoda 4




Mai avem o metodă să determinăm distanța de la centrul bazei la o față laterală a piramidei regulate, fără a stabili perpendiculara din centrul bazei pe fața laterală. Ne fixăm atenția asupra piramidei \({\mathit{OVBC}}\). Ne amintim că înălțimea unei piramide este egală cu distanța de la vârful acesteia la planul bazei. Calculăm volumul piramidei \({\mathit{OVBC}}\) alegând baza în două moduri:

• mai întâi vom considera baza \({VBC}\) și vârful \({O}\); în acest vaz, volumul este:



\({V_{\mathit{OVBC}}=\frac{\displaystyle A_{\triangle VBC} \cdot d(O, (VBC))}{\displaystyle 3}=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle VM\cdot BC}{\displaystyle 2}\cdot d(O, (VBC))}{\displaystyle 3}}\)

\({V_{\mathit{OVBC}}=\frac{\displaystyle VM \cdot BC \cdot \textcolor{#ff1493}{d(O, (VBC))}}{\displaystyle 6}}\)

• același corp geometric putem considera că are ca bază triunghiul \({OBC}\) și vârful \({V}\); în acest caz, volumul este:



\({V_{\mathit{VOBC}}=\frac{\displaystyle A_{\triangle OBC} \cdot VO}{\displaystyle 3}=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle OB\cdot OC}{\displaystyle 2}\cdot VO}{\displaystyle 3}}\)

\({V_{\mathit{OVBC}}=\frac{\displaystyle OB \cdot OC \cdot VO}{\displaystyle 6}}\)

Fiind vorba de același corp geometric, volumul este același indiferent de metoda de calcul. Rezultă că:

\({\frac{\displaystyle VM \cdot BC \cdot \textcolor{#ff1493}{d(O, (VBC))}}{\displaystyle \cancel{6}} = \frac{\displaystyle OB \cdot OC \cdot VO}{\displaystyle \cancel{6}}}\)

Calculăm distanța de la \({O}\) la planul \({(VBC)}\):

\({\textcolor{#ff1493}{d(O, (VBC))} = \frac{\displaystyle OB \cdot OC \cdot VO}{\displaystyle VM \cdot BC}}\)

Piramida \({\mathit{VABCD}}\) este regulată, deci are baza \({ABCD}\) pătrat; considerăm că lungimea laturii acestuia este \({a}\). Atunci diagonala bazei este \({a\sqrt{2}}\). Rezultă că \({OB=OC=\frac{\displaystyle a\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\). Înlocuim în calculul de mai sus și obținem:

\({\textcolor{#ff1493}{d(O, (VBC))} = \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle a\cancel{\sqrt{2}}}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle \cancel{a}\cancel{\sqrt{2}}}{\displaystyle \cancel{2}} \cdot h}{\displaystyle a_p \cdot \cancel{a}}}\)

\({\textcolor{#ff1493}{d(O, (VBC))} = \frac{\displaystyle a_b \cdot h}{\displaystyle a_p}}\)

\({a_b \; \text{apotema} \; \text{bazei}}\)

\({h \; \text{inaltimea} \; \text{piramidei}}\)

\({a_p \; \text{apotema} \; \text{piramidei}}\)

Am folosit faptul că apotema bazei în piramida patrulateră regulată este egală cu jumătate din lungimea laturii bazei.