∎ Exemple: unghiul dintre două plane

★ Fie \({\mathit{VABCD}}\) piramidă regulată, cu latura bazei egală cu \({4\;cm}\) și muchia laterală egală cu \({4\sqrt{3}\;cm}\). Să calculăm:

a) sinusul unghiului dintre planul bazei \({(ABC)}\) și planul \({(\mathit{VBC})}\).

b) sinusul unghiului dintre planele \({(\mathit{VAD})}\) și \({(\mathit{VBC})}\).

• a) Unghiul dintre planele \({(ABC)}\) și \({(\mathit{VBC})}\) este unghiul format de două semidrepte perpendiculare în același punct pe dreapta comună celor două plane, semidreptele fiind conținute în cele două plane. Cele două plane formează patru unghiuri, congruente două câte două. Se consideră că unghiul dintre ele este unghiul cu măsura cea mai mică.


• Identificăm dreapta comună planelor \({(ABC)}\) și \({(\mathit{VBC})}\). Observăm că aceasta este \({BC}\).



\({(ABC) \cap (\mathit{VAB}) =BC}\)

• Identificăm o perpendiculară pe \({BC}\), inclusă în \({(ABC)}\). Observăm că aceasta este \({OM}\), unde \({M}\) este mijlocul lui \({BC}\). Segmentul \({OM}\) este apotema pătratului \({ABCD}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; \text{patrat}\\ M \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; BC \\ AC \cap BD= \{O\} \end{array} \right \} \Longrightarrow OM \perp BC $$

• Există o perpendiculară pe \({BC}\), chiar în punctul \({M}\), inclusă în \({(\mathit{VBC})}\)?


• Da, există. Este apotema \({VM}\) a piramidei regulate \({(\mathit{VABCD})}\). Ea este perpendiculară pe \({BC}\), chiar în punctul \({M}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} \mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata}\\ M \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; BC \end{array} \right \} \Longrightarrow VM \perp BC $$

• Rezultă că unghiul dintre planele \({(ABC)}\) și \({(\mathit{VBC})}\) este unghiul dintre \({OM}\) și \({VM}\), adică unghiul \({VMO}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} OM \perp BC\\ OM \subset (ABC) \\ VM \perp BC\\ VM \subset (\mathit{VBC}) \\ (ABC) \cap (\mathit{VBC})=BC \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle ((ABC), (\mathit{VBC}))=\sphericalangle(OM, VM)=\sphericalangle VMO $$

• Pentru a calcula sinusul unghiului \({VMO}\), avem nevoie să încadrăm acest unghi într-un triunghi dreptunghic.


• Piramida \({\mathit{VABCD}}\) este regulată; înseamnă că segmentul care unește vârful \({V}\) al piramidei cu centrul \({O}\) al bazei este perpendicular pe planul bazei, adică pe toate dreptele conținute în acest plan (\({VO}\) este înălțimea piramidei). Rezultă că \({VO}\) este perpendiculară pe \({OM}\). Am demonstrat că triunghiul \({VOM}\) este dreptunghic în \({O}\). Unul dintre unghiurile ascuțite ale acestui triunghi este \({VMO}\).


• Sinusul unui unghi este egal cu raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Rezultă că sinusul unghiului \({VMO}\) este egal cu raportul dintre \({VO}\) și \({VM}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} \mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata} \\ AC \cap BD= \{O\} \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp (ABC) $$

$$ \left. \begin{array}{ll} OM \subset (ABC) \\ VO \perp (ABC) \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp OM \Longrightarrow \triangle VOM \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; O $$

\({\Longrightarrow \text{sin} \; \sphericalangle VMO=\frac{\displaystyle VO}{\displaystyle VM}}\)

• Calculăm lungimea segmentului \({VO}\). Acesta este catetă în triunghiul dreptunghic \({VOB}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi. Într-un pătrat, diagonalele se înjumătățesc, deci punctul în care se intersectează este mijlocul lor. Lungimea lui \({OB}\) este jumătate din diagonala pătratului \({ABCD}\), a cărui latură o știm din enunț. Pentru diagonala unui pătrat avem formula \({\text{diagonala} \;\text{patrat} \; =a\sqrt{2}}\), unde \({a}\) este latura pătratului.



$$ \left. \begin{array}{ll} OB \subset (ABC) \\ VO \perp (ABC) \end{array} \right \} \Longrightarrow VO \perp OB \Longrightarrow \triangle VOB \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; O $$

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; \text{patrat}\\ BD \; \text{diagonala} \end{array} \right \} \Longrightarrow \triangle DAB \; \text{isoscel,} \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; A $$

\({\Longrightarrow DB^2=AB^2+AD^2=4^2+4^2=32}\)

\({DB=\sqrt{32}=4\sqrt{2} \; cm}\)

\({O \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; DB \Longrightarrow OB=\frac{\displaystyle DB}{\displaystyle 2}=2\sqrt{2} \; cm}\)

\({\triangle VOB \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; O \overset{T. \; Pitagora}\Longrightarrow VO^2=VB^2-OB^2=(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{2})^2=48-8=40}\)

\({\Longrightarrow VO=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \; cm}\)

• Calculăm lungimea segmentului \({VM}\). Acesta este ipotenuză în triunghiul dreptunghic \({VOM}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi. Alternativă: putem să calculăm lungimea segmentului \({VM}\) aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul \({VMB}\) dreptunghic în \({M}\), unde \({VM}\) este catetă.



\({\triangle VOM \; \text{dreptunghic} \; \text{in} \; O \overset{T. \; Pitagora}\Longrightarrow VM^2=VO^2+OM^2=40+2^2=44}\)

\({\Longrightarrow VM=\sqrt{44}=2\sqrt{11} \; cm}\)

\({OM \; \text{linie} \; \text{mijlocie}\; \text{in} \; \triangle ABC \Longrightarrow OM=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2}=2 \; cm}\)

• Calculăm sinusul unghiului \({VMO}\).



\({\text{sin} \; \sphericalangle VMO=\frac{\displaystyle VO}{\displaystyle VM}=\frac{\displaystyle \cancel{2}\sqrt{10}}{\displaystyle \cancel{2}\sqrt{11}}=\frac{\displaystyle \sqrt{10} \cdot \sqrt{11}}{\displaystyle \sqrt{11} \cdot \sqrt{11}}=\frac{\displaystyle \sqrt{110} }{\displaystyle 11}}\)

\({\text{sin} \; \sphericalangle VMO=\frac{\displaystyle \sqrt{110} }{\displaystyle 11}}\)









• b) Unghiul dintre planele \({(\mathit{VAD})}\) și \({(\mathit{VBC})}\) este unghiul format de două semidrepte perpendiculare în același punct pe dreapta comună celor două plane, semidreptele fiind conținute în în cele două plane. Cele două plane formează patru unghiuri, congruente două câte două. Se consideră că unghiul dintre ele este unghiul cu măsura cea mai mică.


• Observăm că planele \({(\mathit{VAD})}\) și \({(\mathit{VBC})}\) au punctul \({V}\) comun. Două plane care au un punct comun au, de fapt, o dreaptă comună. Înseamnă că planele \({(\mathit{VAD})}\) și \({(\mathit{VBC})}\) au o dreaptă comună. Notăm cu \({d}\) această dreaptă.



$$ \left. \begin{array}{ll} V \in (\mathit{VAD})\\ V \in (\mathit{VBC}) \end{array} \right \} \Longrightarrow (\mathit{VAD}) \cap (\mathit{VBC})=d, V \in d $$

• Baza piramidei este pătratul \({ABCD}\). Rezultă că segmentele \({AD}\) și \({BC}\) sunt paralele.



\({ABCD \; \text{patrat} \; \Longrightarrow AD \parallel BC}\)

• Planele \({(\mathit{VAD})}\) și \({(\mathit{VBC})}\) au dreapta \({d}\) comună și conțin dreptele paralele \({AD}\) și \({BC}\). Rezultă că cele două drepte paralele sunt paralele și cu dreapta comună. Deci \({AD}\), \({BC}\) și \({d}\) sunt paralele. (Am aplicat „teorema acoperișului”: dacă două plane secante conțin două drepte paralele, atunci aceste drepte sunt paralele cu dreapta de intersecție a celor două plane.)



$$ \left. \begin{array}{ll} AD \subset (\mathit{VAD})\\ BC \subset (\mathit{VBC}) \\ AD \parallel BC \\ (\mathit{VAD}) \cap (\mathit{VBC})=d \end{array} \right \} \Longrightarrow AD \parallel BC \parallel d $$

• Fie \({M}\) mijlocul lui \({BC}\) și \({N}\) mijlocul lui \({AD}\). Piramida \({\mathit{VABCD}}\) este regulată, deci \({VM}\) este perpendiculară pe \({BC}\) și \({VN}\) este perpendiculară pe \({AD}\) (\({VM}\) și \({VN}\) sunt apotemele piramidei).



$$ \left. \begin{array}{ll} M \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; BC\\ \mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata} \end{array} \right \} \Longrightarrow VM \perp BC $$

$$ \left. \begin{array}{ll} N \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; AD\\ \mathit{VABCD} \; \text{piramida} \; \text{regulata} \end{array} \right \} \Longrightarrow VN \perp AD $$

• Deoarece \({VM}\) este perpendiculară pe \({BC}\) și \({BC}\) este paralelă cu \({d}\), rezultă că \({VM}\) este perpendiculară pe \({d}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} VM \perp BC\\ BC \parallel d \end{array} \right \} \Longrightarrow VM \perp d $$

• Deoarece \({VN}\) este perpendiculară pe \({AD}\) și \({AD}\) este paralelă cu \({d}\), rezultă că \({VN}\) este perpendiculară pe \({d}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} VN \perp AD\\ AD \parallel d \end{array} \right \} \Longrightarrow VN \perp d $$

• Rezultă că unghiul dintre planele \({(\mathit{VAD})}\) și \({(\mathit{VBC})}\) este unghiul dintre dreptele \({VN}\) și \({VM}\), adică este unghiul \({MVN}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} (\mathit{VAD}) \cap (\mathit{VBC})=d \\ VM \perp d \\ VM \subset (\mathit{VBC}) \\ VN \perp d \\ VN \subset (\mathit{VAD}) \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle ((\mathit{VBC}), (\mathit{VAD}))= \sphericalangle (VM, VN)= \sphericalangle MVN $$











• Sinusul unghiului \({MVN}\) îl calculăm folosind aria triunghiului \({VMN}\).


• Aria unui triunghi se poate calcula în mai multe moduri:



\({A_{ \text{triunghi}}= \frac{\displaystyle \text{baza} \times \text{inaltimea}}{\displaystyle 2}}\)

\({A_{ \text{triunghi}}= \frac{\displaystyle \text{latura_1} \times \text{latura_2} \times \text{sinusul} \; \text{unghiului} \; \text{dintre} \; \text{latura_1} \; \text{si} \;\text{latura_2} }{\displaystyle 2}}\)

• Scriem aria triunghiului \({VMN}\) în două moduri:



\({A_{ \triangle VMN}= \frac{\displaystyle MN \cdot VO }{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle VM \cdot VN \cdot \text{sin} \;\sphericalangle MVN}{\displaystyle 2}}\)

• Apotemele piramidei regulate sunt congruente (egale), rezultă că \({VM=VN=2\sqrt{11} \; cm}\) (am calculat la subpunctul a) ).


• Înălțimea piramidei regulate \({\mathit{VABCD} }\) este \({VO=2\sqrt{10} \; cm}\) (am calculat-o la subpunctul a) ).


• Deoarece \({ABCD }\) este pătrat și punctele \({M}\) și \({N}\) sunt mijloacele a două laturi opuse ale acestuia, rezultă că \({MN=AB=4 \; cm}\).



$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \;\text{patrat} \\ N \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; AD \\ M \; \text{mijlocul} \; \text{lui} \; BC \end{array} \right \} \Longrightarrow MN=AB =4 \; cm $$



• Efectuăm calculele și aflăm cu cât este egal \({\text{sin} \;\sphericalangle MVN }\).



\({A_{ \triangle VMN}= \frac{\displaystyle MN \cdot VO }{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle VM \cdot VN \cdot \text{sin} \;\sphericalangle MVN}{\displaystyle 2}}\)

\({MN \cdot VO=VM \cdot VN \cdot \text{sin} \;\sphericalangle MVN}\)

\({4 \cdot 2\sqrt{10}=2\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{11} \cdot \text{sin} \;\sphericalangle MVN \;\;\; \mid \; \cdot \; \frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle 4}}\)

\({2\sqrt{10}=11 \cdot \text{sin} \;\sphericalangle MVN}\)

\({ \text{sin} \;\sphericalangle MVN=\frac{\displaystyle 2\sqrt{10} }{\displaystyle 11}}\)