∎ Aria și volumul piramidei regulate // trunchiului de piramidă regulată

★ Aria laterală și aria totală a piramidei regulate

• Unitatea de măsură pentru arie este metrul pătrat (suprafața unui pătrat cu latura de \({1 \; m}\)).



\({1 \; m^2=10^2 \;dm^2=10^4\; cm^2=10^6 \;mm^2}\)

\({1 \; km^2=10^2 \;hm^2=10^4\; dam^2=10^6 \;m^2}\)

• Aria laterală a unei piramide regulate este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale acesteia. Aria laterală se notează cu \({A_l}\) sau \({A_{laterală}}\).



Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele. Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei piramidei.

Fie \({a}\) latura bazei, \({n}\) numărul laturilor bazei, \({P_b}\) perimetrul bazei, \({a_b}\) apotema bazei, \({R}\) raza cercului circumscris bazei, \({h}\) înălțimea piramidei regulate, \({a_p}\) apotema piramidei.







\({A_{fața \; laterală}=\frac{\displaystyle a \cdot a_p}{\displaystyle 2}}\)




\({A_{laterală}=\frac{\displaystyle n \cdot a \cdot a_p}{\displaystyle 2}}\)




\({A_{laterală}=\frac{\displaystyle P_b \cdot a_p}{\displaystyle 2}}\)

• Aria totală a unei piramide regulate este egală cu suma dintre aria laterală a piramidei și aria bazei acesteia. Aria totală se notează cu \({A_t}\) sau \({A_{totală}}\).




\({A_{totală}=A_{laterală}+A_{bazei}}\)




\({A_{bazei}=\frac{\displaystyle n \cdot a \cdot a_b}{\displaystyle 2}}\)

Aria bazei poligon regulat cu \({n}\) laturi o putem calcula folosind formulele pentru aria unui poligon regulat sau putem descompune baza în \({n}\) triunghiuri congruente a căror arie o calculăm în funcție de apotema bazei și latura bazei.




\({A_{totală}=\frac{\displaystyle n \cdot a \cdot (a_b+a_p)}{\displaystyle 2}}\)




\({A_{totală}=\frac{\displaystyle P_b \cdot (a_b+a_p)}{\displaystyle 2}}\)







• Baza unei piramide regulate este un poligon regulat: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat etc.


• Aria triunghiului echilateral cu latura \({a}\):



\({A_{\triangle \; echil.}=\frac{\displaystyle a^2\sqrt{3}}{\displaystyle 4}}\)

• Aria pătratului cu latura \({a}\):



\({A_{pătrat}=a^2}\)

• Aria hexagonului regulat cu latura \({a}\):



\({A_{hexagon \; reg.}=\frac{\displaystyle 3a^2\sqrt{3}}{\displaystyle 2}}\)

• Elemente importante ale piramidei regulate:


• Înălțimea piramidei regulate este segmentul care unește vârful piramidei și centrul bazei acesteia; o notăm cu \({h}\);


• Apotema piramidei regulate este segmentul care unește vârful piramidei și mijlocul unei laturi a bazei; o notăm cu \({a_p}\).


• O piramidă regulată are atâtea apoteme câte laturi are baza ei. Toate apotemele unei piramide regulate sunt congruente.


• Fețele unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele, iar apotemele piramidei sunt înălțimi, bisectoare și mediane în aceste triunghiuri isoscele.


• Apotema bazei unei piramide regulate este segmentul care unește centrul bazei și mijlocul unei laturi a bazei; o notăm cu \({a_b}\). Numărul apotemelor bazei este egal cu numărul laturilor bazei.


• Apotemele bazei unei piramide regulate sunt congruente. Apotema bazei este perpendiculară pe latura bazei corespunzătoare ei.


• Muchia laterală a unei piramide regulate este segmentul care unește vârful piramidei cu un vârf al bazei; o notăm cu \({m}\). Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente.


• Relații între înălțimea \({h}\) a piramidei regulate, apotema \({a_p}\) a acesteia, apotema \({a_b}\) a bazei, muchia laterală \({m}\), raza \({R}\) a cercului circumscris bazei, latura \({a}\) a bazei:


• Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \({VOB}\) dreptunghic în \({O}\):



\({h^2= m^2-R^2}\)

• Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \({VOM}\) dreptunghic în \({O}\):



\({h^2= a_p^2-a_b^2}\)

\({a_p^2=h^2+a_b^2}\)

• Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \({VMB}\) dreptunghic în \({M}\):



\({m^2=a_p^2+\frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle 4}}\)

★ Volumul piramidei regulate

• Unitatea de măsură pentru volum este metrul cub (spațiul ocupat de un cub cu latura de \({1 \; m}\)).



\({1 \; m^3=10^3 \;dm^3=10^6 \;cm^3=10^9 \;mm^3 }\)

\({1 \; km^3=10^3 \;hm^3=10^6 \;dam^3=10^9 \;m^3 }\)

• Volumul unei piramide regulate este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțimea \({h}\) a piramidei:



\({\small{Volum}_{\; piramidă}=\frac{\displaystyle A_{bazei} \cdot h}{\displaystyle 3}}\)

★ Aria și volumul trunchiului de piramidă regulată

• Trunchiul de piramidă se obține prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici care rezultă.


• Trunchiul de piramidă are două baze: baza mare, care este și baza piramidei inițiale, și baza mică. Bazele sunt poligoane regulate asemenea, situate în plane paralele.

• Fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente. Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei. Aria unei fețe laterale se calculează folosind formula ariei trapezului. Pentru un trunchi de piramidă regulată, înălțimea unei fețe laterale este apotemă a trunchiului.



\({Aria_{față \; laterală}=\frac{\displaystyle (B+b) \cdot a_t}{\displaystyle 2}}\)

unde \({B}\) este latura bazei mari, \({b}\) este latura bazei mici, iar \({a_t}\) este apotema trunchiului de piramidă regulată.

• Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este egală cu suma ariilor fețelor laterale.



\({Aria_{laterală}=n \cdot \frac{\displaystyle (B+b) \cdot a_t}{\displaystyle 2}}\)

\({Aria_{laterală}=\frac{\displaystyle (P_B+P_b) \cdot a_t}{\displaystyle 2}}\)




unde \({n}\) este numărul laturilor unei baze a trunchiului de piramidă, \({P_B}\) este perimetrul bazei mari, \({P_b}\) este perimetrul bazei mici.

• Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată se poate calcula ca diferență între aria laterală a piramidei din care provine trunchiul și aria laterală a piramidei mici, care se îndepărtează.


• Aria totală a trunchiului de piramidă regulată este egală cu suma dintre aria laterală și ariile celor două baze.



\({Aria_{totală}=Aria_{laterală} + Aria_{Bazei \;mari}+Aria _{bazei \; mici}}\)

• Volumul trunchiului de piramidă regulată este egal cu diferența dintre volumul piramidei inițiale și volumul piramidei mici, care se îndepărtează.


• Formula pentru calculul volumului trunchiului de piramidă regulată:



\({\small{Volum}_{tr. \; de \; pir. regulată}=\frac{\displaystyle h}{\displaystyle 3}(Aria_{Bazei \;mari}+Aria _{bazei \; mici}+ \sqrt{Aria_{Bazei \;mari} \cdot Aria _{bazei \; mici}}}\)

\({h }\) este înălțimea trunchiului de piramidă







• Rapoarte de asemănare: fie o piramidă regulată secționată cu un plan paralel cu baza. Se obține o piramidă mică și un trunchi de piramidă. Piramida mică și piramida inițială sunt asemenea. Fie \({h}\) înălțimea piramidei mici și \({H}\) înălțimea piramidei mari.



\({\frac{\displaystyle {{\small{Volumul}}}_{piramida \; mica}}{\displaystyle {\small{Volumul}}_{piramida \; initiala}}=\left(\frac{\displaystyle h}{\displaystyle H}\right)^3}\)




\({\frac{\displaystyle {{\small{Aria}}}_{piramida \; mica}}{\displaystyle {\small{Aria}}_{piramida \; initiala}}=\left(\frac{\displaystyle h}{\displaystyle H}\right)^2}\)