∎ Calculul elementelor bazei în piramida regulată hexagonală

Fie \({\mathit {VABCDEF}}\) o piramidă regulată hexagonală. Baza ei este hexagonul regulat \({ ABCDEF}\) de latură \({a}\).

Vom analiza și apoi vom calcula elementele bazei \({ ABCDEF}\).

Fie \({O}\) centrul hexagonului regulat \({ ABCDEF}\). Acesta se află la intersecția celor 3 cele mai lungi diagonale; este centrul cercului circumscris acestuia.

Cele trei diagonale de mai sus sunt congruente, egale cu dublul lungimii laturii hexagonului regulat, iar punctul \({O}\) este mijlocul lor. Ele formează șase triunghiuri echilaterale congruente, care au latura egală cu latura hexagonului regulat.

Segmentele care unesc centrul hexagonului regulat cu vârfurile acestuia sunt egale, fiind raze ale cercului circumscris hexagonului.

Segmentele care unesc punctul \({O}\) cu mijloacele laturilor hexagonului regulat sunt perpendiculare pe aceste laturi și sunt congruente; se numesc apotemele hexagonului; dacă hexagonul este baza unei piramide, atunci spunem că sunt apotemele bazei piramidei.

Vom calcula lungimea apotemei hexagonului regulat.

Fie hexagonul regulat \({ABCDEF}\) de latură \({a}\) și punctul \({O}\) centrul cercului circumscris acestuia.

Calculăm lungimea diagonalei care trece prin centrul hexagonului regulat. Cele 6 triunghiuri care au vârful în centrul hexagonului sunt isoscele (pentru că două laturi ale fiecăruia sunt raze ale cercului circumscris hexagonului) și congruente (cazul LLL). Însemană că unghiurile cu vârful în punctul O sunt congruente. Suma lor este de \({360^{\circ}}\); înseamnă că măsurile lor sunt de \({60^{\circ}}\) (360 împărțit la 6). Un triunghi isoscel cu un unghi de \({60^{\circ}}\) este echilateral; am abținut astfel că cele 6 triunghiuri formate de diagonalele care trec prin centrul hexagonului sunt echilaterale, deci laturile lor sunt egale cu latura hexagonului regulat.

\({AO=a}\)

(\({AO}\) este raza cercului circumscris hexagonului regulat)

Lungimea diagonalelor care trec prin centrul hexagonului regulat este egală cu dublul lungimii laturii hexagonului.

\({AD=2a}\)

Calculăm lungimea segmentului \({OM}\) (apotema hexagonului regulat), care unește centrul cercului circumscris hexagonului regulat și mijlocul unei laturi a acestuia.

Segmentul \({OM}\) este înălțime, mediană, bisectoare în triunghiul echilateral \({BOC}\) de latură \({a}\). Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \({BMO}\) dreptunghic în \({M}\), cu cateta \({BM=\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}}\) și ipotenuza \({OB=a}\). Rezultă că:

\({OM=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 2}}\)