∎ Aria și volumul cilindrului drept, conului și trunchiului de con drept, sferei

★ Aria laterală, aria totală și volumul cilindrului drept:

• Aria laterală este aria suprafeței laterale a cilindrului drept. Atunci când desfășurăm un astfel de cilindru, observăm că suprafața sa laterală este un dreptunghi care are lungimea egală cu lungimea cercului de la baza cilindrului, iar înălțimea este egală cu generatoarea cilindrului.




• Aria laterală se calculează cu formula:



\({A_{laterală}=2 \cdot \pi \cdot R \cdot G}\), unde \({R}\) este raza cercului de la baza cilindrului, iar \({G}\) este generatoarea cilindrului.

• Aria totală este egală cu suma dintre aria laterală și ariilor bazelor.



\({A_{totală}=A_{laterală} +2 \cdot A_{bazei}}\)

\({A_{totală}=2 \cdot \pi \cdot R \cdot G +2 \cdot \pi \cdot R^2}\)

\({A_{totală}=2 \pi R (G +R)}\)



• Volumul cilindrului drept este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea cilindrului. În cazul cilindrului drept, generatoarea este egală cu înălțimea acestuia.



\({{\small{Volumul}}_{cilindru}=A_{bazei} \cdot h}\), unde \({h}\) este înălțimea cilindrului

\({{\small{Volumul}}_{cilindru}=\pi R^2 h}\), unde \({h}\) este înălțimea cilindrului

\({{\small{Volumul}}_{cilindru}=\pi R^2 G}\), unde \({G}\) este generatoarea cilindrului

★ Aria laterală, aria totală și volumul conului drept:

• Aria laterală a conului drept:



\({A_{laterală}= \pi \cdot R \cdot G}\), unde \({R}\) este raza cercului de la baza conului, iar \({G}\) este generatoarea conului.

• Aria totală a conului drept:



\({A_{totală}=A_{laterală} +A_{bazei}}\)

\({A_{totală}= \pi \cdot R \cdot G +\pi \cdot R^2}\)

\({A_{totală}= \pi R (G +R)}\)

unde \({R}\) este raza cercului de la baza conului, iar \({G}\) este generatoarea conului.

• Volumul conului drept:



\({{\small{Volumul}}_{con}=\frac{\displaystyle A_{bazei} \cdot h}{\displaystyle 3}}\), unde \({h}\) este înălțimea conului




\({{\small{Volumul}}_{con}=\frac{\displaystyle \pi R^2 h}{\displaystyle 3}}\), unde \({h}\) este înălțimea conului și \({R}\) este raza cercului de la baza conului

★ Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de con drept:

• Aria laterală a trunchiului de con se poate calcula ca diferență între aria laterală a conului inițial și aria laterală a conului mic, care se îndepărtează.


• Aria laterală a trunchiului de con se poate calcula cu formula:



\({A_{laterală}= \pi G (R+r)}\), unde \({R}\) este raza bazei mari, \({r}\) este raza bazei mici, iar \({G}\) este generatoarea trunchiului de con.

• Aria totală a trunchiului de con este egală cu suma dintre aria laterală și ariile bazelor trunchiului.



\({A_{totală}=A_{laterală} +A_{bazei \; mari} +A_{bazei \; mici}}\)

\({A_{totală}=\pi G (R+r) +\pi R^2 +\pi r^2}\), unde \({R}\) este raza bazei mari, \({r}\) este raza bazei mici, iar \({G}\) este generatoarea trunchiului de con.

• Volumul trunchiului de con se poate calcula ca diferență între volumul conului inițial și volumul conului care se îndepărtează.


• Volumul trunchiului de con se calculează cu formula:



\({{\small{Volumul}}_{trunchi \; de \; con}=\frac{\displaystyle \pi h}{\displaystyle 3}( R^2+ r^2+rR)}\), unde \({R}\) este raza bazei mari, \({r}\) este raza bazei mici, iar \({h}\) este înălțimea trunchiului de con.



• Rapoarte de asemănare: fie un con secționat cu un plan paralel cu baza. Se obține un con mic și un trunchi de con. Conul mic și conul inițial sunt asemenea. Fie \({r}\) raza bazei mic a trunchiului de con obținut și \({R}\) raza bazei mari a trunchiului de con.



\({\frac{\displaystyle {{\small{Volumul}}}_{con \; mic}}{\displaystyle {\small{Volumul}}_{con \; initial}}=\left(\frac{\displaystyle r}{\displaystyle R}\right)^3}\)




\({\frac{\displaystyle {{\small{Aria}}}_{con \; mic}}{\displaystyle {\small{Aria}}_{con \; initial}}=\left(\frac{\displaystyle r}{\displaystyle R}\right)^2}\)

★ Aria și volumul sferei:

• Sfera este formată din mulțimea punctelor din spațiu situate la distanța \({R}\) de un punct numit centrul sferei. \({R}\) este raza sferei.


• Aria sferei:



\({A_{sferei}=4\pi R^2 }\), unde \({R}\) este raza sferei

• Volumul sferei:



\({{{\small{Volumul}}}_{sferei}=\frac{\displaystyle 4\pi R^3}{\displaystyle 3 } }\), unde \({R}\) este raza sferei