∎ Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan. Distanța de la un punct la un plan

★ Drepte perpendiculare

• Două drepte \({a}\) și \({b}\) sunt perpendiculare dacă unghiul dintre ele este drept (are măsura de \({90^{\circ}}\)).


• Scriem \({a \perp b}\) sau \({b \perp a}\) și citim „\({a}\) este perpendiculară pe \({b}\) ” sau „\({b}\) este perpendiculară pe \({a}\)”.



\({a \perp b \Longleftrightarrow \sphericalangle(a,b)=90^{\circ}}\)

• Două drepte necoplanare sunt perpendiculare dacă paralelele duse prin același punct la ele sunt perpendiculare.



$$ \left. \begin{array}{ll} a \not\parallel b \\ a \cap b = ∅ \\ a \parallel d_1 \\ b \parallel d_2 \\ d_1 \perp d_2 \end{array} \right \} \Longrightarrow a \perp b $$

★ Dreapta perpendiculară pe un plan

• O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate dreptele din plan.


• Expresia „dreapta înțeapă planul” înseamnă că dreapta este perpendiculară pe plan.


• Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci toate dreptele paralele cu ea sunt perpendiculare pe plan.



$$ \left. \begin{array}{ll} d \perp \alpha \\ d \parallel d_1 \end{array} \right \} \Longrightarrow d_1 \perp \alpha $$

• Criteriu de perpendicularitate: O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.



$$ \left. \begin{array}{ll} a, b \subset \alpha \\ a \cap b= \{O\} \\ d \perp a \\ d \perp b \end{array} \right \} \Longrightarrow d \perp \alpha $$











• O prismă care are fețele laterale dreptunghiuri este prismă dreaptă (fiecare muchie laterală este perpendiculară pe două laturi concurente ale unei baze, deci este perpendiculară pe planul bazei).






• Orice muchie laterală a unui paralelipiped dreptunghic este perpendiculară pe diagonala bazei. Rezultă că putem calcula lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic, aplicând Teorema lui Pitagora de două ori.







Diagonala bazei: \({A'C'=\sqrt{a^2+b^2}}\)

Diagonala paralelipipedului dreptunghic: \({A'C=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)





• Dintr-un punct putem duce o singură perpendiculară pe un plan (perpendiculara dintr-un punct pe un plan este unică).


• Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci ea este perpendiculară pe orice plan paralel cu planul dat.



$$ \left. \begin{array}{ll} d \perp \alpha \\ \alpha \parallel \beta \end{array} \right \} \Longrightarrow d \perp \beta $$

• Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane, atunci cele două plane sunt paralele.



$$ \left. \begin{array}{ll} d \perp \alpha \\ d \perp \beta \end{array} \right \} \Longrightarrow \alpha \parallel \beta $$

• Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci cele două drepte sunt paralele.



$$ \left. \begin{array}{ll} a \perp \alpha \\ b \perp \alpha \end{array} \right \} \Longrightarrow a \parallel b $$

★ Distanța de la un punct la un plan

Fie \({A}\) un punct exterior planului \({\alpha}\). Ducem perpendiculara din \({A}\) pe planul \({\alpha}\). Fie \({O}\) punctul în care această perpendiculară intersectează planul \({\alpha}\).

• Distanța de la punctul \({A}\) la planul \({\alpha}\) este lungimea segmentului \({AO}\). Scriem \({d(A, \alpha)=AO}\).


• Punctul \({O}\) se numește piciorul perpendicularei din \({A}\) pe planul \({\alpha}\).


• Perpendiculara dusă dintr-un punct pe un plan este un segment mai scurt decât orice oblică dusă din același punct pe plan.