∎ Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanței de la un punct la o dreaptă

★ Teorema celor trei perpendiculare

• Fie planul \({\alpha}\), punctul \({A}\) exterior lui \({\alpha}\) și o dreaptă \({d}\) inclusă în \({\alpha}\). Dacă dreapta \({AB}\) este perpendiculară pe planul \({\alpha}\), cu \({B \in \alpha}\) și dreapta \({BC}\) este perpendiculară pe \({d}\), cu \({C \in d}\), atunci dreapta \({AC}\) este perpendiculară pe dreapta \({d}\).







$$ \left. \begin{array}{ll} A \not\in \alpha \\ d \subset \alpha \\ AB \perp \alpha, B \in \alpha \\ BC \perp d, C \in d \end{array} \right \} \Longrightarrow AC \perp d $$

• Avem trei perpendiculare:


• 1. o perpendiculară pe plan (perpendiculară pe două drepte concurente din plan);


• 2. din piciorul acestei perpendiculare, o altă perpendiculară pe o dreaptă inclusă în plan, marcând punctul de intersecție;


• 3. rezultă că dreapta care unește orice punct al primei perpendiculare cu punctul marcat este perpendiculară pe dreapta inclusă în plan.


• punctul de intersecție marcat este piciorul celei de-a doua perpendiculare și celei de-a treia perpendiculare.

★ Calculul distanței de la un punct la o dreaptă:

• pe desenul de mai sus, observăm că distanța de la punctul \({A}\) la dreapta \({d}\) este \({AC}\);


• \({AC}\) este ipotenuză în triunghiul \({ABC}\) dreptunghic în \({B}\)


• știind lungimea catetelor \({AB}\) și \({BC}\), putem calcula lungimea \({AC}\), adică distanța de la \({A}\) la dreapta \({d}\) (aplicăm teorema lui Pitagora).