∎ Calculul elementelor bazei în piramida regulată patrulateră

Fie \({\mathit {VABCD}}\) o piramidă regulată patrulateră. Baza ei este pătratul \({ ABCD}\) de latură \({a}\).

Vom analiza și apoi vom calcula elementele bazei \({ ABCD}\).

Fie \({O}\) centrul pătratului \({ ABCD}\). Acesta se află la intersecția diagonalelor pătratului; este centrul cercului circumscris acestuia.

Diagonalele pătratului sunt egale, perpendiculare una pe cealaltă și se înjumătățesc, adică punctul \({O}\) este mijlocul lor.

Segmentele care unesc centrul pătratului cu vârfurile acestuia sunt egale, fiind raze ale cercului circumscris pătratului. Ele sunt egale cu jumătate din lungimea unei diagonale.

Segmentele care unesc punctul \({O}\) cu mijloacele laturilor pătratului \({ ABCD}\) sunt perpendiculare pe aceste laturi și sunt congruente; se numesc apotemele pătratului; dacă pătratul este baza unei piramide, atunci spunem că sunt apotemele bazei piramidei.

Vom calcula lungimea apotemei pătratului, lungimea diagonalei acestuia și raza cercului circumscris pătratului.

Elementele bazei (pătrat)

În pătratul \({ABCD}\) de latură \({a}\) putem calcula lungimile segmentelor \({AC}\) (diagonala pătratului), \({OM}\) (apotema bazei), \({AO}\) (raza cercului circumscris triunghiului bazei).

Calculăm lungimea diagonalei pătratului. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \({ABC}\) dreptunghic în \({B}\), unde \({AC}\) este ipotenuză (și diagonală a pătratului).

\({ABCD \;\text{ pătrat} \;\Longrightarrow AB \perp BC \Longrightarrow \triangle ABC \;\text{ dreptunghic} \; \text{ în} \; B \overset{T. Pitagora}{\Longrightarrow}}\)

\({\overset{T. Pitagora}{\Longrightarrow} AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2}\)

\({AC=a\sqrt{2}=\text{diagonala} \;\text{pătratului}}\)

Calculăm lungimea apotemei \({OM}\) a pătratului. Aceasta este perpendiculara dusă din centrul pătratului pe latura acestuia. Punctul \({O}\) este intersecția diagonalelor și mijlocul acestora în pătrat. Punctul \({M}\) este mijlocul laturii \({BC}\); rezultă că \({OM}\) este linie mijlocie în triunghiul \({ABC}\). Înseamnă că \({OM}\) este paralelă cu \({AB}\) și jumătate din ea (\({OM}\) este paralelă cu \({AB}\) și pentru că ambele sunt perpendiculare pe \({BC}\)).

\({\Longrightarrow}\) \({AO=\frac{\displaystyle a\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\)

(\({AO}\) este raza cercului circumscris pătratului)

\({M \; \text{mijlocul} \;\text{lui} \; BC\; \; \;\textcolor{darkorange}{★ ★}}\)

Din \({\textcolor{darkorange}{ ★}}\) și \({\textcolor{darkorange}{ ★★} \Longrightarrow OM \; \text{linie} \;\text{mijlocie} \;\text{în} \; \triangle ABC \Longrightarrow OM=\frac{\displaystyle AC}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}}\)

\({OM=\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}=\text{apotema} \;\text{pătratului}}\)