a) îl calculăm pe \({x}\), apoi comparăm numerele \({x}\) și \({y}\);
analizăm numărul \({x}\); observăm că avem o putere a lui 9, apoi minus 5, adunăm următoarea putere a lui 9, apoi iar scădem 5 etc.;
exponenții lui 9 sunt de la 1 la 53;
de câte ori este scăzut numărul 5?
\({\underbrace{9-5}_{scădem \;5\; o \;dată}+ \underbrace{9^{2}-5}_{scădem \;5\; a \; doua \;oară}+ \underbrace{9^{3}-5}_{scădem \;5\; a \; treia \; oară}+...+ \underbrace{9^{53}-5}_{scădem \;5\; a \; 53-a \; oară}}\)
\({9-5}\) ❖ îl scădem pe 5 prima dată, iar exponentul lui 9 este 1
\({9^{2}-5}\) ❖ îl scădem pe 5 a doua oară, iar exponentul lui 9 este 2
\({9^3-5}\) ❖ îl scădem pe 5 a treia oară, iar exponentul lui 9 este 3
\({9^{53}-5}\) ❖ îl scădem pe 5 a 53-a oară, iar exponentul lui 9 este 53
observăm că pe 5 îl scădem de 53 de ori, adică scădem 5 înmulțit cu 53
rescriem suma, aranjând astfel termenii:
\({x=9+9^{2}+9^{3}+...+9^{53}\underbrace{-5-5-...-5}_{de \; 53 \; de \; ori }}\)
\({x=9+9^{2}+9^{3}+...+9^{53}-5 \cdot 53}\)
vom calcula numărul \({x}\), folosind formula sumei de puteri:
\({\textcolor{white}{x}=\frac{\displaystyle 9^{54}-2129}{\displaystyle {8}}}\) (scădem 9, apoi mai scădem 2120; cât scădem în total? răspuns: 9 plus 2120, adică 2129)
comparăm numerele \({x=\frac{\displaystyle 9^{54}-2129}{\displaystyle {8}}}\) și \({y=\frac{\displaystyle 11^{54}-2129}{\displaystyle {8}}}\)
au același numitor, deci comparăm numărătorii;
comparăm \({9^{54}-2129}\) și \({11^{54}-2129}\); scăzătorul este același, deci este mai mare cel care are descăzutul mai mare;
\({9^{54} < 11^{54}}\), deci \({x < y}\)
b) îl calculăm pe \({x}\), apoi comparăm numerele \({x}\) și \({y}\);
\({x}\) este o sumă de produse în care unul dintre factori este 7 (primul termen este 7, adică 7 înmulțit cu 1);
comparăm \({9^{53} \cdot 7 -7}\) și \({9^{54} \cdot 7 -7}\); scăzătorul este același, deci este mai mare cel care are descăzutul mai mare;
comparăm \({9^{53} \cdot 7 }\) și \({9^{54} \cdot 7}\); unul dintre factori este comun, deci vom compara factorul necomun;
\({9^{53} < 9^{54}}\), deci \({x < y}\).
B.
a) avem trei puteri cu aceeași bază, rezultă că ordinea lor este dată de exponenți; cea mai mică putere este cea cu exponentul cel mai mic, cea mai mare putere este cea cu exponentul cel mai mare;
înseamnă că \({2 \le x < 10}\);
ce numere naturale sunt mai mari sau egale cu 2 și mai mici decât 10?
\({x}\) este unul dintre numerele 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.
b) avem trei puteri cu același exponent, rezultă că ordinea lor este dată de baze; cea mai mică putere este cea cu baza cea mai mică, cea mai mare putere este cea cu baza cea mai mare;
înseamnă că \({12 < x \le 16}\);
ce numere naturale sunt mai mari decât 12 și mai mici sau egale cu 16?
\({x}\) este unul dintre numerele 13, 14, 15 sau 16.
c) avem trei puteri cu aceeași bază, rezultă că ordinea lor este dată de exponenți; cea mai mică putere este cea cu exponentul cel mai mic, cea mai mare putere este cea cu exponentul cel mai mare;
înseamnă că \({7 < \colorbox{Apricot}{3+x} \le 12}\);
ce numere naturale sunt mai mari decât 7 și mai mici sau egale cu 12?
\({\colorbox{Apricot}{3+x}}\) este unul dintre numerele 8, 9, 10, 11 sau 12;
analizăm fiecare caz:
înseamnă că \({3+x=8}\) rezultă că \({x=8-3}\), adică \({x=5}\);
înseamnă că \({3+x=9}\) rezultă că \({x=9-3}\), adică \({x=6}\);
înseamnă că \({3+x=10}\) rezultă că \({x=10-3}\), adică \({x=7}\);
înseamnă că \({3+x=11}\) rezultă că \({x=11-3}\), adică \({x=8}\);
înseamnă că \({3+x=12}\) rezultă că \({x=12-3}\), adică \({x=9}\).
\({x}\) este unul dintre numerele 5, 6, 7, 8 sau 9.
d) avem trei puteri cu același exponent, rezultă că ordinea lor este dată de baze; cea mai mică putere este cea cu baza cea mai mică, cea mai mare putere este cea cu baza cea mai mare;
înseamnă că \({2 < \colorbox{SpringGreen}{2x+1} < 9}\);
ce numere naturale sunt mai mari decât 2 și mai mici decât 9?
\({\colorbox{SpringGreen}{2x+1}}\) este unul dintre numerele 3, 4, 5, 6, 7 sau 8;
analizăm fiecare caz:
înseamnă că \({2x+1=3}\) rezultă că \({2x=3-1}\), adică \({2x=2}\); obținem \({x=1}\)
înseamnă că \({2x+1=4}\) rezultă că \({2x=4-1}\), adică \({2x=3}\); ce număr natural, înmulțit cu 2, ne dă 3? nu avem un astfel de număr;
înseamnă că \({2x+1=5}\) rezultă că \({2x=5-1}\), adică \({2x=4}\); obținem \({x=2}\)
înseamnă că \({2x+1=6}\) rezultă că \({2x=6-1}\), adică \({2x=5}\); ce număr natural, înmulțit cu 2, ne dă 5? nu avem un astfel de număr;
înseamnă că \({2x+1=7}\) rezultă că \({2x=7-1}\), adică \({2x=6}\); obținem \({x=3}\);
înseamnă că \({2x+1=8}\) rezultă că \({2x=8-1}\), adică \({2x=7}\); ce număr natural, înmulțit cu 2, ne dă 7? nu avem un astfel de număr.
\({x}\) este unul dintre numerele 1, 2 sau 3.
e) avem trei puteri cu aceeași bază, rezultă că ordinea lor este dată de exponenți; cea mai mică putere este cea cu exponentul cel mai mic, cea mai mare putere este cea cu exponentul cel mai mare;
înseamnă că \({13 \le \colorbox{Goldenrod}{20-x} \le 18}\);
ce numere naturale sunt mai mari sau egale cu 13 și mai mici sau egale cu 18?
\({\colorbox{Goldenrod}{20-x}}\) este unul dintre numerele 13, 14, 15, 16, 17 sau 18;
analizăm fiecare caz:
înseamnă că \({20-x=13}\) rezultă că \({x=20-13}\), adică \({x=7}\);
înseamnă că \({20-x=14}\) rezultă că \({x=20-14}\), adică \({x=6}\);
înseamnă că \({20-x=15}\) rezultă că \({x=20-15}\), adică \({x=5}\);
înseamnă că \({20-x=16}\) rezultă că \({x=20-16}\), adică \({x=4}\);
înseamnă că \({20-x=17}\) rezultă că \({x=20-17}\), adică \({x=3}\);
înseamnă că \({20-x=18}\) rezultă că \({x=20-18}\), adică \({x=2}\).
\({x}\) este unul dintre numerele 2, 3, 4, 5, 6 sau 7.
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
aplicăm formula de mai sus pentru