∎ Intervale de numere reale

★ Introducere

• fiecărui număr real îi corespunde un punct pe axa numerelor; mulțimea numerelor reale este infinită, între orice două numere reale se află o infinitate de alte numere reale;
• un interval înseamnă toate numerele reale cuprinse între două numere reale date;
• cele două numere reale date se numesc capetele sau extremitățile intervalului;
• pentru a scrie un interval, folosim paranteze rotunde (când intervalul nu conține capătul respectiv) și/sau paranteze drepte (când intervalul conține capătul respectiv);
• dacă vrem să reprezentăm un interval pe axa numerelor, reprezentăm mai întîi capetele intervalului pe axă, apoi hașurăm porțiunea cuprinsă între cele două capete.

★ Intervale mărginite

• reprezentarea unui interval mărginit pe axa numerelor este un segment;
• intervalul \({[a, b]}\) se numește interval închis de extremități \({a}\) și \({b}\); conține extremitățile \({a}\) și \({b}\):

\({[a, b] = \{ x \in \mathbf{R} \mid a \le x \le b \}}\)

\({a \in [a, b]}\)

\({b \in [a, b]}\)






• intervalul \({(a, b)}\) se numește interval deschis de extremități \({a}\) și \({b}\); nu conține extremitățile \({a}\) și \({b}\):

\({(a, b) = \{ x \in \mathbf{R} \mid a < x < b \}}\)

\({a \not\in (a, b)}\)

\({b \not\in (a, b)}\)







• intervalul \({[a, b)}\) se numește interval de extremități \({a}\) și \({b}\), închis la stânga și deschis la dreapta; conține extremitatea stângă \({a}\) și nu conține extremitatea dreaptă \({b}\):

\({[a, b) = \{ x \in \mathbf{R} \mid a \le x < b \}}\)

\({a \in [a, b)}\)

\({b \not\in [a, b)}\)







• intervalul \({(a, b]}\) se numește interval de extremități \({a}\) și \({b}\), deschis la stânga și închis la dreapta; nu conține extremitatea stângă \({a}\) și conține extremitatea dreaptă \({b}\):

\({(a, b] = \{ x \in \mathbf{R} \mid a < x \le b \}}\)

\({a \not\in (a, b]}\)

\({b \in (a, b]}\)

★ Intervale nemărginite

• simbolurile \({+ \infty}\) (plus infinit) și \({- \infty}\) (minus infinit) nu sunt numere;
• semnul + din fața simbolului \({+ \infty}\) (plus infinit) poate fi omis; \({(a, + \infty) = (a, \infty)}\);
• unui interval nemărginit îi corespunde o semidreaptă pe axa reală;
• mulțimea numerelor reale poate fi scrisă și astfel: \({\mathbf{R} = (- \infty, +\infty)}\);





• intervalul \({(- \infty, a)}\) se numește interval deschis la dreapta, nemărginit la stânga sau interval deschis, minus infinit, \({a}\);

\({(- \infty, a) = \{ x \in \mathbf{R} \mid x < a \}}\)

\({a \not\in (- \infty, a)}\)






• intervalul \({(- \infty, a]}\) se numește interval închis la dreapta, nemărginit la stânga sau interval închis, minus infinit, \({a}\);

\({(- \infty, a] = \{ x \in \mathbf{R} \mid x \le a \}}\)

\({a \in (- \infty, a]}\)






• intervalul \({(a, +\infty)}\) se numește interval deschis la stânga, nemărginit la dreapta sau interval deschis, \({a}\), plus infinit;

\({(a, +\infty) = \{ x \in \mathbf{R} \mid x > a \}}\)

\({a \not\in (a, +\infty)}\)






• intervalul \({[a, +\infty)}\) se numește interval închis la stânga, nemărginit la dreapta sau interval închis, \({a}\), plus infinit;

\({[a, +\infty) = \{ x \in \mathbf{R} \mid x \ge a \}}\)

\({a \in [a, +\infty)}\)

★ Exemple

Dacă extremitățile intervalului sunt numere iraționale, folosim aproximări raționale pentru aceste numere.

• intervalul \({(\sqrt{2}, + \infty)}\) se reprezintă astfel:

\({\sqrt{2} \approx 1{,}4 }\)






• intervalul \({(\sqrt{2}, \sqrt{5}]}\) se reprezintă astfel:

\({\sqrt{2} \approx 1{,}4 }\)

\({\sqrt{5} \approx 1{,}3 }\)

Exersează!

Exersează 1 | Exersează 2 | Exersează 3 | Exersează 4 | Exersează 5 | Exersează 6

Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui printr-o donație singulară sau lunară. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.

Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA

IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001

SWIFT: BTRLRO22

Mulțumesc! ❤️