A.

• a) Numerele în ordine crescătoare sunt y, x, z pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=(2^{5})^{8}= 2^{5 \; \cdot \; 8}=2^{40}}\)


• \({y=(2^{9})^{3}= 2^{9 \; \cdot \; 3}=2^{27}}\)


• \({z=(2^{4})^{11}= 2^{4 \; \cdot \; 11}=2^{44}}\)



Cele trei puteri au aceeași bază (egală cu 2), deci scriem exponenții în ordine crescătoare:

\({27 < 40 < 44}\)

Rezultă că \({y < x < z}\)



• b) Numerele în ordine crescătoare sunt x, z, y pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=(5^{3})^{12}= 5^{3 \; \cdot \; 12}=5^{36}}\)


• \({y=(8^{6})^{6}= 8^{6 \; \cdot \; 6}=8^{36}}\)


• \({z=(6^{4})^{9}= 6^{4 \; \cdot \; 9}=6^{36}}\)



Cele trei puteri au același exponent (egal cu 36), deci scriem bazele în ordine crescătoare:

\({5 < 6 < 8}\)

Rezultă că \({x < z < y}\)



• c) Numerele în ordine crescătoare sunt z, y, x pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=7^{3^{2}}= 7^{9}}\) pentru că \({3^{2}= 9}\)


• \({y=7^{2^{4}-2^{3}}= 7^{16 \; - \; 8}=7^{8}}\)


• \({z=(7^{2})^{8}: 7^{10}= 7^{2 \; \cdot \; 8}:7^{10}=7^{16}:7^{10}=7^{16-10}=7^{6}}\)



Cele trei puteri au aceeași bază (egală cu 7), deci scriem exponenții în ordine crescătoare:

\({6 < 8 < 9}\)

Rezultă că \({z < y < x}\)



• d) Numerele în ordine crescătoare sunt x, z, y pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=8^{3} \cdot 8^{6} \cdot 8^{2}=8^{3 \; + \; 6 \; + \; 2}=8^{11}}\)


• \({y=8^{6^{2}-6^{0}}=8^{36-1}=8^{35}}\)


• \({z=((8^{2})^{3})^{2}=(8^{2 \; \cdot \; 3})^{2}=(8^{6})^{2}=8^{6 \; \cdot \; 2}=8^{12}}\)



Cele trei puteri au aceeași bază (egală cu 8), deci scriem exponenții în ordine crescătoare:

\({11 < 12 < 35}\)

Rezultă că \({x < z < y}\)

B.

• a) Numerele în ordine descrescătoare sunt y, x, z pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=2^{2} \cdot 2^{8} : 2^{4}=2^{2+8-4}=2^{6}}\)


• \({y=(2^{4})^{6}:2^{7}=2^{4 \; \cdot \; 6}:2^{7}=2^{24}:2^{7}=2^{24-7}=2^{17}}\)


• \({z=(2^{0})^{5}=2^{0 \; \cdot \; 5}=2^{0}}\) (egal cu 1, dar preferăm scrierea sub formă de putere, să comparăm exponenții)



Cele trei puteri au aceeași bază (egală cu 2), deci scriem exponenții în ordine descrescătoare:

\({17 > 6 > 0}\)

Rezultă că \({y > x > z}\)



• b) Numerele în ordine descrescătoare sunt y, z, x pentru că:



Puterile au aceeași bază (egală cu 7), deci comparăm exponenții. Aceștia sunt puteri cu același exponent: \({5^{2}}\), \({8^{2}}\) și \({7^{2}}\). Scriem bazele în ordine descrescătoare:

\({8 > 7 > 5}\)

Rezultă că \({8^{2} > 7^{2} > 5^{2}}\)

Obținem că \({y > z > x}\)



• c) Numerele în ordine descrescătoare sunt y, z, x pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=16^{2^{5}-7}=16^{32-7}=16^{25}}\)


• \({y=36^{5^{4} \; : \; 5^{2}}=36^{5^{4-2}}=36^{5^{2}}=36^{25}}\)


• \({z=17^{5^{2}}=17^{25}}\)



Cele trei puteri au același exponent (egal cu 25), deci scriem bazele în ordine descrescătoare:

\({36 > 17 > 16}\)

Rezultă că \({y > z > x}\)



• d) Numerele în ordine descrescătoare sunt y, x, z pentru că:



Aplicăm regulile de calcul cu puteri. Obținem:

• \({x=(3^{4} \cdot 3^{5})^{2}=(3^{4+5})^{2}=(3^{9})^{2}=3^{9 \; \cdot \; 2}=3^{18}}\)


• \({y=(3^{6^{2}})^{3}=(3^{36})^{3}=3^{36 \; \cdot \; 3}=3^{108}}\)


• \({z=3^{5} \cdot 3^{3} \cdot (3^{2})^{2}=3^{5+3} \cdot 3^{2 \; \cdot \; 2}=3^{8} \cdot 3^{4}=3^{8+4}=3^{12}}\)



Cele trei puteri au aceeași bază (egală cu 3), deci scriem exponenții în ordine descrescătoare:

\({108 > 18 > 12}\)

Rezultă că \({y > x > z}\)

C.

• a) Avem două puteri cu aceeași bază (egală cu 2); pentru a le compara, trebuie să comparăm exponenții.

Pentru ca \({2^{6}}\) să fie mai mare decât \({2^{x}}\), este necesar ca 6 să fie mai mare decât \({x}\). Altfel spus, \({x}\) trebuie să fie mai mic decât 6.


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

Numerele naturale mai mici decât 6 sunt: 0, 1, 2, 3, 4 și 5. Rezultă că pentru \({x}\) egal cu unul dintre aceste numere, inegalitatea \({2^{6} > 2^{x}}\) este adevărată.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({2^{6} > 2^{x} \Longrightarrow 6 > x \Longrightarrow x }\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4 sau 5



• b) Avem două puteri cu aceeași bază (egală cu 3); pentru a le compara, trebuie să comparăm exponenții.

Pentru ca \({3^{3x}}\) să fie mai mic sau egal cu \({3^{27}}\), este necesar ca \({3x}\) să fie mai mic sau egal cu \({27}\).


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

⁇ 3 înmulțit cu ce număr natural ne dă rezultatul mai mic sau egal cu 27? ⁇

3 înmulțit cu 9 ne dă 27. Înseamnă că pentru orice număr natural mai mic sau egal cu 9, inegalitatea \({3x \le 27}\) este adevărată. Am obținut că \({x}\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.

Inegalitatea \({3x \le 27}\) poate fi rezolvată prin împărțirea ambilor membri ai ei cu 3.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({3^{3x} \le 3^{27} \Longrightarrow 3x \le 27 \; \mid \; : 3}\) (împărțim cu 3 ambii membri ai inegalității)

\({x \le 9 \Longrightarrow x}\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9



• c) Avem două puteri cu aceeași bază (egală cu 5); pentru a le compara, trebuie să comparăm exponenții.

Pentru ca \({5^{26-x}}\) să fie mai mic decât \({5^{14}}\), este necesar ca \({26-x}\) să fie mai mic decât \({14}\).


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

26 minus ce număr natural ne dă rezultatul mai mic decât 14?

26 minus 12 ne dă 14. Nouă ne trebuie rezultatul mai mic decât 14; de aceea, din 26 trebuie să scădem un număr mai mare decât 12. Rezultă că \({x}\) este un număr natural mai mare decât 12.

⁇ Cât de mare poate fi \({x}\)? Poate fi 27? Dar 153? ⁇

Numărul \({x}\) nu poate fi mai mare decât 26, pentru că aici lucrăm cu numere naturale (scăzătorul trebuie să fie mai mic sau egal cu descăzutul). Înseamnă că \({x}\) este cuprins între 12 și 26, adică \({x}\) poate fi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 sau 26.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({5^{26-x} < 5^{14} \Longrightarrow 26-x < 14}\)

\({26-a=14}\)

\({a=26-14}\)

\({a=12}\)

Pentru a obține rezultatul mai mic decât 14, din 26 trebuie să scădem un număr mai mare decât 12 (dacă descăzutul rămâne același și mărim scăzătorul, rezultatul se micșorează).

\({x> 12}\) (altfel spus, \({12< x}\))

Din 26 nu putem scădea un număr mai mare decât el, deci \({x \le 26}\)

Rezultă că \({12 < x \le 26}\), adică \({x}\) poate fi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 sau 26.



• d) Avem două puteri cu aceeași bază (egală cu 4); pentru a le compara, trebuie să comparăm exponenții.

Pentru ca \({4^{2x}}\) să fie egal cu \({4^{20}}\), este necesar ca \({2x}\) să fie egal cu \({20}\).


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

⁇ 2 înmulțit cu ce număr natural ne dă rezultatul egal cu 20? ⁇

2 înmulțit cu 10 ne dă 20. Înseamnă că \({x}\) este egal cu 10.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({4^{2x} = 4^{20} \Longrightarrow 2x = 20 \; \mid \; : 2}\) (împărțim cu 2 ambii membri ai egalității)

\({x = 10 }\)



• e) Avem două puteri cu aceeași bază (egală cu 6); pentru a le compara, trebuie să comparăm exponenții.

Calculăm \({(6^{2})^{x}= 6^{2x}}\)

Pentru ca \({6^{2x}}\) să fie mai mare sau egal cu \({6^{8}}\), este necesar ca \({2x}\) să fie mai mare sau egal cu \({8}\).


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

⁇ 2 înmulțit cu ce număr natural ne dă rezultatul mai mare sau egal cu 8? ⁇

2 înmulțit cu 4 ne dă 8. Înseamnă că \({x}\) este mai mare sau egal cu 4, deci poate fi 4, 5, 6, 7 etc.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({6^{2x} \ge 6^{8} \Longrightarrow 2x \ge 8 \; \mid \; : 2}\) (împărțim cu 2 ambii membri ai egalității)

\({x \ge 4 }\)



• f) Avem două puteri cu aceeași bază (egală cu 9); pentru a le compara, trebuie să comparăm exponenții.

Pentru ca \({9^{x+2}}\) să fie mai mic decât \({9^{11}}\), este necesar ca \({x+2}\) să fie mai mic decât \({11}\).


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

⁇ Ce număr, adunat cu 2, ne dă rezultatul mai mic decât 11? ⁇

9 plus 2 ne dă 11. Înseamnă că \({x}\) este mai mic decât 9, deci poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau 8.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({9^{x+2} < 9^{11} \Longrightarrow x+2 < 11}\)

\({a+2=11 }\)

\({a=11-2 }\)

\({a=9 }\)

\({x < 9 }\) număr natural

\({x }\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau 8



• g) Avem două puteri cu același exponent (egal cu 3); pentru a le compara, trebuie să comparăm bazele.

Pentru ca \({36^{3}}\) să fie egal cu \({(18x)^{3}}\), este necesar ca \({36}\) să fie egal cu \({18x}\).


⁇ Ce număr, înmulțit cu 18, ne dă 36? ⁇

2 înmulțit cu 18 ne dă 36. Înseamnă că \({x}\) este egal cu 2.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({36^{3} = (18x)^{3} \Longrightarrow 36 = 18x \; \mid \; : 18}\) (împărțim cu 18 ambii membri ai egalității)

\({x = 2 }\)



• h) Avem o putere cu baza 8, care este egală cu 1.

⁇ Ce putere este întotdeauna egală cu 1? ⁇

Puterile care au exponentul 0 sunt egale cu 1. Înseamnă că exponentul puterii noastre este 0.

Calculăm \({(8^{2x})^{10} = 8^{2x \; \cdot \; 10}=8^{20 x}}\)

Pentru ca \({8^{20x}}\) să fie egal cu 1, este necesar ca \({20x}\) să fie egal cu 0.


⁇ Ce număr, înmulțit cu 20, ne dă 0? ⁇

0 înmulțit cu 20 ne dă 0. Înseamnă că \({x}\) este egal cu 0.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({8^{20x} = 1 = 8^0 \Longrightarrow 20x = 0}\)

\({x = 0 }\)



• i) Avem două puteri cu același exponent (egal cu 12); pentru a le compara, trebuie să comparăm bazele.

Pentru ca \({(x-1)^{12}}\) să fie mai mic sau egal cu \({8^{12}}\), este necesar ca \({x-1}\) să fie mai mic sau egal cu \({8}\).


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

⁇ Ce număr natural, minus 1, ne dă rezultatul mai mic sau egal cu 8? ⁇

9 minus 1 ne dă 8. Înseamnă că pentru orice număr natural mai mic sau egal cu 9, inegalitatea \({x-1 \le 8}\) este adevărată. Am obținut că \({x}\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({(x-1)^{12} \le 8^{12} \Longrightarrow x-1 \le 8}\)

\({a-1 = 8}\)

\({a=1+8}\)

\({a = 9}\)

\({x \le 9 \Longrightarrow x}\) poate fi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9



• j) Avem două puteri cu același exponent (egal cu 3); pentru a le compara, trebuie să comparăm bazele.

Pentru ca \({17^{3}}\) să fie mai mare decât \({(5x)^{3}}\), este necesar ca 17 să fie mai mare decât \({5x}\). Altfel spus, \({5x}\) trebuie să fie mai mic decât 17.


Enunțul ne precizează că \({x}\) este număr natural.

⁇ Ce număr natural, înmulțit cu 5, ne dă rezultatul mai mic decât 17? ⁇

3 înmulțit cu 5 ne dă 15 (15 este mai mic decât 17, e bine).

4 înmulțit cu 5 ne dă 20 (20 nu este mai mic decât 17, nu e bine; deci ne oprim la 3).

Înseamnă că pentru orice număr natural mai mic sau egal cu 3, inegalitatea \({5x < 17}\) este adevărată. Rezultă că \({x}\) poate fi 0, 1, 2 sau 3.

Cum scriem în limbaj matematic:

\({17^{3} > (5x)^{3} \Longrightarrow 17 > 5x \Longrightarrow x }\) poate fi 0, 1, 2 sau 3