A. Aplicăm regulile de calcul cu puteri.

• a) \({(2^{3})^{4}}\) = \({(2^{6})^{2}}\) pentru că:


• \({(2^{3})^{4} = 2^{3 \; \cdot \; 4} = 2^{12}}\)


• \({(2^{6})^{2} = 2^{6 \; \cdot \; 2} = 2^{12}}\)


• \({2^{12} = 2^{12}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)


• b) \({10^{3^{2}}}\) < \({10^{2^{5}}}\) pentru că:


• \({10^{3^{2}} = 10^{9}}\) pentru că \({3^{2} = 9}\)


• \({10^{2^{5}} = 10^{32}}\) pentru că \({2^{5} = 32}\)


• \({10^{9} < 10^{32}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)


• c) \({(3^{6})^{2}}\) < \({(3^{4})^{5}}\) pentru că:


• \({(3^{6})^{2} = 3^{6 \; \cdot \; 2} = 3^{12}}\)


• \({(3^{4})^{5} = 3^{4 \; \cdot \; 5} = 3^{20}}\)


• \({3^{12} < 3^{20}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)


• d) \({(6^{3})^{10}}\) < \({(8^{5})^{6}}\) pentru că:


• \({(6^{3})^{10} = 6^{3 \; \cdot \; 10} = 6^{30}}\)


• \({(8^{5})^{6} = 8^{5 \; \cdot \; 6} = 8^{30}}\)


• \({6^{30} < 8^{30}}\) (puterile au același exponent, deci comparăm bazele)


• e) \({(9^{3})^{8}}\) > \({(7^{2})^{12}}\) pentru că:


• \({(9^{3})^{8} = 9^{3 \; \cdot \; 8} = 9^{24}}\)


• \({(7^{2})^{12} = 7^{2 \; \cdot \; 12} = 7^{24}}\)


• \({9^{24} > 7^{24}}\) (puterile au același exponent, deci comparăm bazele)




• f) \({(5^{5})^{3} \cdot 5^{4}}\) > \({(5^{6})^{2} : 5}\) pentru că:


• \({(5^{5})^{3} \cdot 5^{4} = 5^{5 \; \cdot \; 3} \cdot 5^{4}= 5^{15} \cdot 5^{4}= 5^{15+4}=5^{19}}\)


• \({(5^{6})^{2} : 5 = 5^{6 \; \cdot \; 2} : 5 = 5^{12} : 5^{1}=5^{12-1}=5^{11}}\)


• \({5^{19} > 5^{11}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)


• g) \({(11^{4})^{11} : 11^{10}}\) > \({(9^{17})^{2}}\) pentru că:


• \({(11^{4})^{11} : 11^{10} = 11^{4 \; \cdot \; 11} : 11^{10}= 11^{44} : 11^{10}= 11^{44-10}=11^{34}}\)


• \({(9^{17})^{2} = 9^{17 \; \cdot \; 2} = 9^{34}}\)


• \({11^{34} > 9^{34}}\) (puterile au același exponent, deci comparăm bazele)


• h) \({5^{6^{2}}}\) < \({(8^{4})^{9}}\) pentru că:


• \({5^{6^{2}} = 5^{36}}\) pentru că \({6^{2} = 36}\)


• \({(8^{4})^{9} = 8^{4 \; \cdot \; 9} = 8^{36}}\)


• \({5^{36} < 8^{36}}\) (puterile au același exponent, deci comparăm bazele)


• i) \({(6^{2})^{4}}\) < \({6^{2^{4}}}\) pentru că:


• \({(6^{2})^{4} = 6^{2 \; \cdot \; 4}=6^{8}}\)


• \({6^{2^{4}} = 6^{16}}\) pentru că \({2^{4} = 16}\)


• \({6^{8} < 6^{16}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)


• j) \({8^{3^{2}}}\) > \({8^{2^{3}}}\) pentru că:


• \({8^{3^{2}} = 8^{9}}\) pentru că \({3^{2} = 9}\)


• \({8^{2^{3}} = 8^{8}}\) pentru că \({2^{3} = 8}\)


• \({8^{9} > 8^{8}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)

B. Cele două sume au același număr de termeni (3 termeni fiecare). Termenii fiecărei sume sunt două puteri cu baza 2 și o putere cu baza 5. O metodă este să comparăm sumele termen cu termen. Să vedem dacă obținem o rezolvare folosind această metodă.

\({\textcolor{#e18741}{x=2^{17} +5^{18}+2^{20}}}\)

\({\textcolor{RoyalBlue}{y=5^{12} + 2^{15}+2^{17}}}\)

• \({\textcolor{#e18741}{2^{17}} = \textcolor{RoyalBlue}{2^{17}}}\)


• \({\textcolor{#e18741}{5^{18}} > \textcolor{RoyalBlue}{5^{12}}}\)


• \({\textcolor{#e18741}{2^{20}} > \textcolor{RoyalBlue}{2^{15}}}\)


• rezultă că \({\textcolor{#e18741}{\textcolor{#e18741}{2^{17} +5^{18}+2^{20}}} > \textcolor{RoyalBlue}{5^{12} + 2^{15}+2^{17}}}\) (adunarea este comutativă)


• am obținut că \({\textcolor{#e18741}{\textcolor{#e18741}{x}} > \textcolor{RoyalBlue}{y}}\)

C. Avem de comparat numerele \({x=3^{56} +2^{49}-4^{50}}\) și \({y=2^{7^{2}} - 4^{52}+(3^{28})^{2}}\).

Analizăm numărul \({x}\): avem o sumă de puteri cu bazele 3 și 2, apoi urmează o scădere (o putere cu baza 4).

Încercăm să comparăm termen cu termen; avem o sumă și o diferență. Deoarece adunarea este comutativă, aranjăm termenii lui \({y}\) astfel încât să putem compara mai ușor (primul termen să fie puterea cu baza 3, al doilea termen să fie puterea cu baza 2):

\({y=(3^{28})^{2}+2^{7^{2}} - 4^{52}}\)

Aplicăm regulile de calcul cu puteri și obținem:

\({y=(3^{28})^{2}+2^{7^{2}} - 4^{52}}\)

\({\textcolor{white}{y}=3^{28 \; \cdot \; 2}+2^{49} - 4^{52}}\) (pentru că \({7^{2} =49}\))

\({\textcolor{white}{y}=3^{56}+2^{49} - 4^{52}}\)

\({\textcolor{#e18741}{x=3^{56} +2^{49}-4^{50}}}\)

Pe \({x}\) putem să-l privim ca pe o scădere în care descăzutul este \({3^{56} +2^{49}}\), iar scăzătorul este \({4^{50}}\).

\({\textcolor{RoyalBlue}{y=3^{56}+2^{49} - 4^{52}}}\)

Pe \({y}\) putem să-l privim ca pe o scădere în care descăzutul este \({3^{56} +2^{49}}\), iar scăzătorul este \({4^{52}}\).

Comparăm numerele termen cu termen.

• \({\textcolor{#e18741}{3^{56}} = \textcolor{RoyalBlue}{3^{56}}}\)


• \({\textcolor{#e18741}{2^{49}} = \textcolor{RoyalBlue}{2^{49}}}\)


• rezultă că \({\textcolor{#e18741}{\textcolor{#e18741}{3^{56} +2^{49}}}= \textcolor{RoyalBlue}{3^{56} + 2^{49}}}\) (descăzutul)


• numerele \({x}\) și \({y}\) sunt scrise fiecare ca o diferență, cu același descăzut; comparăm scăzătorii


• \({\textcolor{#e18741}{4^{50}} < \textcolor{RoyalBlue}{4^{52}}}\) (scăzătorul)


• dacă avem același descăzut, este mai mare numărul cu scăzătorul mai mic (scădem mai puțin)


• rezultă că \({\textcolor{#e18741}{\textcolor{#e18741}{3^{56} +2^{49}-4^{50}}} > \textcolor{RoyalBlue}{3^{56}+2^{49} - 4^{52}}}\)


• am obținut că \({\textcolor{#e18741}{\textcolor{#e18741}{x}} > \textcolor{RoyalBlue}{y}}\)