∎ Reguli de calcul cu radicali

★ Introducere

Fie \({x}\) un număr real.

\({\sqrt{x^2} = |x|}\) pentru orice \({x}\) număr real.

\({\sqrt{x^2} = x}\) pentru orice \({x \ge 0}\).

\({\sqrt{x^2} = -x}\) pentru orice \({x < 0}\).

• Scoaterea factorilor de sub radical

• se folosește formula \({\sqrt{a^{2} \cdot b} = \mid a \mid \cdot \; \sqrt{b}}\) cu \({b \ge 0}\) și \({b}\) nu este divizibil cu niciun pătrat perfect diferit de 1 (spunem că \({b}\) este liber de pătrate).


• \({\sqrt{a^{2k} \cdot b} = a^k \cdot \; \sqrt{b}}\) cu \({a \ge 0}\), \({b \ge 0}\) și \({k \in ℕ^*}\)


• \({\sqrt{a^{2k+1} \cdot b} = a^k \cdot \; \sqrt{a \cdot b}}\) cu \({a \ge 0}\), \({b \ge 0}\) și \({k \in ℕ^*}\)


• Important! În general, numărul care rămâne sub radical trebuie să nu fie divizibil cu niciun pătrat perfect diferit de 1.

• Introducerea factorilor sub radical

• Este operația inversă scoaterii întregilor de sub radical.
• \({a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}}\), cu \({a \ge 0}\), \({b \ge 0}\)

• Pentru \({a }\) și \({b}\) numere raționale și \({\sqrt{x}}\) număr irațional, avem:

• Dacă \({a + b\sqrt{x} = 0}\), atunci \({a = 0}\) și \({b = 0}\)
• Dacă \({a + b\sqrt{x} = 1}\), atunci \({a = 1}\) și \({b = 0}\)
• Dacă \({a + b\sqrt{x} = \sqrt{x}}\), atunci \({a = 0}\) și \({b = 1}\)
• Dacă \({a + b\sqrt{x} = b\sqrt{x}}\), atunci \({a = 0}\)

• Pentru \({a }\), \({b}\), \({a' }\), \({b'}\) numere raționale și \({\sqrt{x}}\) număr irațional, avem:

• Dacă \({a + b\sqrt{x} = a' + b'\sqrt{x}}\), atunci \({a = a'}\) și \({b = b'}\)
• Dacă \({a = a'}\) și \({b = b'}\), atunci \({a + b\sqrt{x} = a' + b'\sqrt{x}}\)

★ Comparare

• dacă \({n^2 \le x < (n + 1)^2}\), \({n \in ℕ}\) rezultă că \({n \le \sqrt{x} < n + 1}\);
• dacă \({x < y}\), atunci \({\sqrt{x} < \sqrt{y}}\);
• dacă \({\sqrt{x} < \sqrt{y}}\), atunci \({x < y}\);
• dacă vrem să comparăm numere de forma \({a\sqrt{x}, \text{cu} \; a \ge 0}\), atunci mai întâi introducem factorii sub radical, apoi comparăm numerele de sub radical.

★ Adunare

\({n\sqrt{x} = \underbrace{\sqrt{x}\; + \;... \;+\; \sqrt{x}}_{\text{de} \; \text{n} \; \text{ori}} }\)

\({m\sqrt{x} + n\sqrt{x} = (m + n)\sqrt{x}}\)

\({m\sqrt{x} - n\sqrt{x} = (m - n)\sqrt{x}}\)

\({\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \sqrt{x + y} }\)

\({m\sqrt{x}}\) și \({n\sqrt{y}}\) nu sunt termeni asemenea și nu se adună

Atenție!

• \({\sqrt{x + y} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y}}\)
• \({\sqrt{x - y} \neq \sqrt{x} - \sqrt{y}}\)

Opusul lui \({m + n\sqrt{x}}\) este \({-(m + n\sqrt{x}) = -m - n\sqrt{x}}\)

★ Înmulțire

• \({a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = ab\sqrt{xy}}\)


• \({a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{x} = ab\sqrt{x^2} = abx}\)

★ Împărțire

• \({\frac{\displaystyle \sqrt{x}}{\displaystyle \sqrt{y}} = \sqrt{\frac{\displaystyle x}{\displaystyle y}}}\), cu \({x \ge 0}\) și \({y > 0}\)



• \({\frac{\displaystyle a\sqrt{x}}{\displaystyle b\sqrt{y}} =\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\sqrt{\frac{\displaystyle x}{\displaystyle y}}}\), cu \({x \ge 0}\), \({y > 0}\), \({b \neq 0}\)



• \({(a\sqrt{x}) : (b\sqrt{y}) = (a : b)\sqrt{x : y}}\)

Atenție! Dacă nu scriem parantezele, atunci vom obține alt rezultat, conform ordinii operațiilor:

\({a\sqrt{x} : b\sqrt{y} = a \cdot \sqrt{x} : b \cdot \sqrt{y} }\)

★ Puteri

Pentru \({a \in \mathbf{R}^*_+ }\), \({ n \in \mathbf{N} }\), avem:

• \({(\sqrt{a})^2 = a}\)


• \({(\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}}\)


• \({(\sqrt{a})^{-n} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{a^n}}}\)


• \({(a\sqrt{b})^n = a^n\sqrt{b^n}}\)


• \({(\sqrt{a})^{2k} = a^k}\) (exponentul este număr par)


• \({(\sqrt{a})^{2k+1} = a^k\sqrt{a}}\) (exponentul este număr impar)

★ Raționalizarea numitorului

• \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{a}} = \frac{\displaystyle \sqrt{a}}{\displaystyle a}}\) (am raționalizat numitorul, adică am amplificat fracția cu \({\sqrt{a}}\), pentru a calcula mai ușor)

• \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{b}}{\displaystyle b}}\)


• \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a\sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{b}}{\displaystyle ab}}\)


• \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle x\sqrt{b}}{\displaystyle b}}\)


• \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle a\sqrt{b}} = \frac{\displaystyle x\sqrt{b}}{\displaystyle ab}}\)