Numerele \({x}\) și \({y}\) sunt sume/diferențe de puteri cu aceeași bază. Observăm că nu le putem compara termen cu termen (sumele nu au același număr de termeni sau unii termeni sunt produse de doi factori). Încercăm să dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic, să vedem ce obținem.
- a) \({x=3^{19}-3^{17}+3^{15} \cdot 120}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{x}}\) \({=3^{15}(3^{4}-3^{2} + 120)}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{x}}\) \({=3^{15}(81-9 + 120)}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{x}}\) \({=3^{15} \cdot 192}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({y=3^{20}-3^{18}-3^{16} \cdot 5}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{16}(3^{4}-3^{2} -5)}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{16}(81-9 -5)}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{16} \cdot 67}\)
Scrierea numerelor \({x}\) și \({y}\) este mai simplă, avem acum de comparat două produse de câte doi factori, dintre care unul este o putere a lui 3.
Trebuie acum să comparăm \({x=3^{15} \cdot 192}\) și \({y=3^{16} \cdot 67}\)
⁇ Putem compara termen cu termen? ⁇
Putem, dar nu obținem niciun rezultat: \({3^{15} < 3^{16}}\), dar \({192 > 67}\).
⁇ Cum comparăm? ⁇
Cele două puteri au aceeași bază (egală cu 3); scriem puterea cu exponentul cel mai mare în funcție de puterea cu exponentul cel mai mic. Folosim regulile de calcul cu puteri:
\({y=3^{16} \cdot 67}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{15+1} \cdot 67}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{15} \cdot 3^{1} \cdot 67}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{15} \cdot 3 \cdot 67}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=3^{15} \cdot 201}\)
Avem acum de comparat \({x=3^{15} \cdot 192}\) și \({y=3^{15} \cdot 201}\). Comparăm termen cu termen:
\({3^{15} = 3^{15}}\)
\({192 < 201}\)
Rezultă că \({3^{15} \cdot 192 < 3^{15} \cdot 201}\), adică \({x < y}\).
- b) Termenii celor două sume sunt puteri cu aceeași bază. Dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic.
\({x=5^{17}-5^{15}+5^{16}}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=5^{15}(5^{2}-1+5^{1})}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=5^{15}(25-1+5)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=5^{15} \cdot 29}\)
\({y=3 \cdot 5^{17}-5^{16}}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{16}(3 \cdot 5^{1}-1)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{16}(15-1)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{16} \cdot 14 }\)
Am obținut forme mai simple ale numerelor \({x }\) și \({y}\). Unul dintre factorii fiecărui produs este o putere a lui 5. Avem aceeași bază, exponenții diferă. Încercăm să aducem cele două puteri la același exponent. Pentru aceasta, puterea cu exponentul cel mai mare o scriem în funcție de puterea cu exponentul mai mic. Folosim regulile de calcul cu puteri:
\({y=5^{16} \cdot 14 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{15+1} \cdot 14 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{15} \cdot 5^{1} \cdot 14 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{15} \cdot 5 \cdot 14 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=5^{15} \cdot 70 }\)
Avem acum de comparat \({x=5^{15} \cdot 29}\) și \({y=5^{15} \cdot 70}\). Comparăm termen cu termen:
\({5^{15} = 5^{15}}\)
\({29 < 70}\)
Rezultă că \({5^{15} \cdot 29 < 5^{15} \cdot 70}\), adică \({x < y}\).
- c) Avem puteri cu aceeași bază. Dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic.
\({x=2^{27}-2^{24}+2^{25} \cdot 3-2^{22}}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22}(2^{5}-2^{2}+2^{3}\cdot 3-1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22}(32-4+8\cdot 3-1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22}(28+24-1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22} \cdot 51}\)
\({y=2^{28}-2^{25}+2^{26}-2^{24}}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{24}(2^{4}-2^{1}+2^{2}-1)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{24}(16-2+4-1)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{24}\cdot 17}\)
Avem acum de comparat \({x=2^{22} \cdot 51}\) și \({y=2^{24}\cdot 17}\). Puterea cu exponentul cel mai mare o scriem în funcție de puterea cu exponentul mai mic:
\({y=2^{24}\cdot 17}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22+2}\cdot 17 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22}\cdot 2^{2} \cdot 17 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22}\cdot 4 \cdot 17 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22}\cdot 68 }\)
Am obținut că \({x=2^{22} \cdot 51}\) și \({y=2^{22}\cdot 68}\). Puterile sunt egale, putem compara termen cu termen:
\({2^{22} = 2^{22}}\)
\({51 < 68}\)
Rezultă că \({2^{22} \cdot 51 < 2^{22} \cdot 68}\), adică \({x < y}\).
- d) Avem puteri cu aceeași bază. Dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic.
\({x=2^{46}+2^{47}+2^{39}}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{39}(2^{7}+2^{8}+1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{39}(128+256+1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{39} \cdot 385}\)
\({y=2^{47}+2^{43}+2^{44}+2^{40}}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{40}(2^{7}+2^{3}+2^{4}+1)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{40}(128+8+16+1)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{40} \cdot 153}\)
Pe \({y}\) îl rescriem astfel încât să obținem puterea \({2^{39}}\):
\({y=2^{40} \cdot 153}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{39+1} \cdot 153 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{39} \cdot 2^{1} \cdot 153 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{39} \cdot 2 \cdot 153 }\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{39} \cdot 306 }\)
Am obținut că \({x=2^{39} \cdot 385}\) și \({y=2^{39} \cdot 306}\). Puterile sunt egale, putem compara termen cu termen:
\({2^{39} = 2^{39}}\)
\({385 > 306}\)
Rezultă că \({2^{39} \cdot 385 > 2^{39} \cdot 306}\), adică \({x > y}\).
- e) Avem puteri cu aceeași bază. Dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic.
\({x=2^{25}-2^{24}+2^{23}-2^{22}}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22}(2^{3}-2^{2}+2^{1}-1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22}(8-4+2-1)}\)
\({\textcolor{white}{x}}\) \({=2^{22} \cdot 5}\)
\({y=2^{26}-2^{25}+2^{24}-7 \cdot 2^{22}}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22}(2^{4}-2^{3}+2^{2}-7)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22}(16-8+4-7)}\)
\({\textcolor{white}{y}}\) \({=2^{22} \cdot 5}\)
Observăm că \({x = y}\).
- a) \({x^{1+2+3+...+100}}\) > \({(x^{50})^{100}}\)
Calculăm mai întâi membrul stâng, apoi membrul drept, aplicând formula sumei lui Gauss și regulile de calcul cu puteri.
- membrul stâng - aplicăm formula sumei lui Gauss:
\({1+2+3+...+n=\frac{\displaystyle n(n+1)}{\displaystyle {2}}}\)
\({1+2+3+...+100=\frac{\displaystyle \cancel{100}^{~50} \cdot 101}{\displaystyle \cancel{2}_{~1}}}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{1+2+3+...+100 }}\) \({=50 \cdot 101}\)
\({\textcolor{white}{a) }}\) \({\textcolor{white}{1+2+3+...+100 }}\) \({=5050}\)
\({x^{1+2+3+...+100}=x^{5050}}\)
- membrul drept:
\({(x^{50})^{100}=x^{50 \; \cdot \; 100}}\)
\({\textcolor{white}{(x^{50})^{100}}}\) \({=x^{5000}}\)
Avem de comparat \({x^{5050}}\) și \({x^{5000}}\). Cele două puteri au aceeași bază; comparăm exponenții:
\({5050 > 5000}\)
Rezultă că \({x^{5050} > x^{5000}}\).
Am obținut că \({x^{1+2+3+...+100} > (x^{50})^{100}}\).
- b) \({2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot \; ... \; \cdot 2^{50}}\) = \({(2^{17})^{75}}\)
Calculăm mai întâi membrul stâng, apoi membrul drept.
- membrul stâng - aplicăm regulile de calcul cu puteri, apoi formula sumei lui Gauss:
\({2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot \; ... \; \cdot 2^{50}=2^{1+2+...+50}}\)
\({1+2+3+...+50=\frac{\displaystyle \cancel{50}^{~25} \cdot 51}{\displaystyle \cancel{2}_{~1}}}\)
\({2^{1+2+...+50}=2^{25 \; \cdot \; 51}}\)
\({\textcolor{white}{2^{1+2+...+50}}}\) \({=2^{1275}}\)
- membrul drept:
\({(2^{17})^{75}=2^{17 \; \cdot \; 75}}\)
\({\textcolor{white}{(2^{17})^{75}}}\) \({=2^{1275}}\)
Am obținut că \({2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot \; ... \; \cdot 2^{50}=(2^{17})^{75}}\).
- c) \({2^{11}-1}\) > \({1+2+2^{2}+...+2^{9}}\)
Membrul drept este o sumă de puteri cu aceeași bază (baza 2). Aplicăm formula pentru calculul acestei sume.
\({1+a+a^{2}+\;...\;+a^{n}=\frac{\displaystyle a^{n+1}-1}{\displaystyle {a-1}}}\)
Avem:
\({1+2+2^{2}+\;...\;+2^{9}=\frac{\displaystyle 2^{9+1}-1}{\displaystyle {2-1}}}\)
\({\textcolor{white}{1+2+2^{2}+\;...\;+2^{9}}=2^{10}-1}\)
Avem de comparat \({2^{11}-1}\) și \({2^{10}-1}\). Scăzătorul este același (egal cu 1); este mai mare numărul care are descăzutul mai mare.
\({2^{11} > 2^{10}}\) (aceeași bază, comparăm exponenții; 11 este mai mare decât 10)
Rezultă că \({2^{11}-1 > 2^{10}-1}\).
Am obținut că \({2^{11}-1 > 1+2+2^{2}+...+2^{9}}\).
- d) \({4(5+5^{2}+\;...\;+5^{20})}\) > \({5^{21}-20}\)
În membrul stâng avem o sumă pe care o vom calcula; după ce efectuăm acest calcul, vedem ce mai putem face.
Pentru a calcula suma \({5+5^{2}+...+5^{20}}\), folosim formula:
\({1+a+a^{2}+\;...\;+a^{n}=\frac{\displaystyle a^{n+1}-1}{\displaystyle {a-1}}}\)
Pentru \({a=5}\), avem:
\({1+\underbrace{5+5^{2}+\;...\;+5^{20}}_{\text{suma noastră}}=\frac{\displaystyle 5^{20+1}-1}{\displaystyle {5-1}}}\)
\({\textcolor{white}{1+5+5^{2}+\;...\;+5^{20}}=\frac{\displaystyle 5^{21}-1}{\displaystyle {4}}}\)
Rezultă că:
\({5+5^{2}+\;...\;+5^{20}=\frac{\displaystyle 5^{21}-1}{\displaystyle {4}}-1}\)
\({\textcolor{white}{5+5^{2}+\;...\;+5^{20}}=\frac{\displaystyle 5^{21}-1}{\displaystyle {4}}-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 4}}\)
\({\textcolor{white}{5+5^{2}+\;...\;+5^{20}}=\frac{\displaystyle 5^{21}-1-4}{\displaystyle {4}}}\)
\({\textcolor{white}{5+5^{2}+\;...\;+5^{20}}=\frac{\displaystyle 5^{21}-5}{\displaystyle {4}}}\)
Obținem că:
\({4(5+5^{2}+\;...\;+5^{20})=\cancel{4} \cdot \frac{\displaystyle 5^{21}-5}{\displaystyle \cancel{4}}}\)
\({\textcolor{white}{4(5+5^{2}+\;...\;+5^{20})}=5^{21}-5}\)
Trebuie să comparăm \({5^{21}-5}\) și \({5^{21}-20}\).
Avem același descăzut; este mai mare diferența care are scăzătorul mai mic.
\({5 < 20}\)
Rezultă că \({5^{21}-5 > 5^{21}-20}\).
Am obținut că \({4(5+5^{2}+\;...\;+5^{20}) > 5^{21}-20}\).
- e) \({9^{1} \cdot 9^{2} \cdot 9^{3} \cdot \; ... \; \cdot 9^{70}}\) > \({(9^{5})^{490}}\)
Calculăm mai întâi membrul stâng, apoi membrul drept.
- membrul stâng - aplicăm regulile de calcul cu puteri, apoi formula sumei lui Gauss:
\({9^{1} \cdot 9^{2} \cdot 9^{3} \cdot \; ... \; \cdot 9^{70}=9^{1+2+...+70}}\)
\({1+2+3+...+70=\frac{\displaystyle \cancel{70}^{~35} \cdot 71}{\displaystyle \cancel{2}_{~1}}}\)
\({9^{1+2+...+70}=9^{35 \; \cdot \; 71}}\)
\({\textcolor{white}{9^{1+2+...+70}}}\) \({=9^{2485}}\)
- membrul drept:
\({(9^{5})^{490}=9^{5 \; \cdot \; 490}}\)
\({\textcolor{white}{(9^{5})^{490}}}\) \({=9^{2450}}\)
Am obținut că \({9^{1} \cdot 9^{2} \cdot 9^{3} \cdot \; ... \; \cdot 9^{70} > (9^{5})^{490}}\).