★ Ecuații bipătrate

Sunt ecuațiile de forma \({ax^4 + bx^2 + c = 0}\). Prin substituția \({x^2 = y}\), ele se reduc la ecuații de gradul al doilea.

★ Exemple

1. \({x^2 + 4x + 3 = 0}\)

• \({\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0}\)


• ecuația are două soluții reale diferite


• \({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -4 \pm \sqrt{4} }{\displaystyle 2 \cdot 1}}\)



\({x_{1{,}2} = \frac{\displaystyle -4 \pm 2 }{\displaystyle 2}}\)




\({x_{1} = \frac{\displaystyle -4 + 2 }{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle -2 }{\displaystyle 2} = -1}\)




\({x_{2} = \frac{\displaystyle -4 - 2 }{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle -6 }{\displaystyle 2} = -3}\)

• mai mult: \({x^2 + 4x + 3 = [x - (-1)][x - (-3)]}\)



\({x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)}\)

2. \({3x^2 + 6x + 3 = 0}\)

• \({\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0}\)


• ecuația are o singură soluție reală



\({x_{1} = x_2 = -\frac{\displaystyle 6 }{\displaystyle 2 \cdot 3} = -\frac{\displaystyle 6 }{\displaystyle 6} = -1}\)



• mai mult: \({3x^2 + 6x + 3 = 3[x - (-1)]^2}\)



\({3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2}\)

2. \({2x^2 + 3x + 4 = 0}\)

• \({\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = 23 < 0}\)


• ecuația nu are soluții reale