∎ Rapoarte

Raportul a două numere este câtul neefectuat al acestor numere. Raportul numerelor \({a}\) și \({b}\) este \({\frac{a}{b}}\), unde \({b \neq 0}\). Numerele \({a}\) și \({b}\) se numesc termenii raportului. Rezultatul împărțirii reprezintă valoarea raportului.

• Raportul numerelor 12 şi 5 este \({\frac{12}{5}}\), iar valoarea raportului este \({12 : 5 = 2{,}4}\)

Rapoartele \({\frac{a}{b}}\) și \({\frac{b}{a}}\) sunt diferite (\({\frac{a}{b}}\) \({\neq}\) \({\frac{b}{a}}\)).

• \({\frac{12}{5}}\) \({\neq}\) \({\frac{5}{12}}\) pentru că \({\frac{12}{5}}\) \({= 2{,}4}\), iar \({\frac{5}{12}}\) \({= 0{,}41(6)}\)

Valoarea unui raport nu se schimbă prin înmulțirea ambilor termeni cu același număr: \({\frac{a}{b}}\) \({=}\) \({\frac{a \:\cdot \: c}{b \: \cdot \: c}}\) (se amplifică cu \({c}\)).

• \({\frac{12}{5}}\) \({=}\) \({\frac{12 \; \cdot \; 2}{5 \; \cdot \; 2}}\) \({=}\) \({\frac{24}{10}}\), pentru că valoarea raportului \({\frac{24}{10}}\) este tot \({2{,}4}\)

Valoarea unui raport nu se schimbă prin împărțirea ambilor termeni cu același număr: \({\frac{a}{b}}\) \({=}\) \({\frac{a \: : \: d}{b \: : \: d}}\)

• considerăm raportul \({\frac{20}{4}}\); valoarea lui este 5 pentru că \({20 : 4 = 5}\)
• împărţim ambii termeni ai raportului cu 2 şi obţinem un nou raport \({\frac{10}{2}}\)a cărui valoare este tot 5 pentru că \({10 : 2 = 5}\) (am simplificat cu 2)

∎ Raportul a două mărimi de același fel - este necesar să le exprimăm în aceeași unitate de măsură. De exemplu, dacă avem de calculat raportul între \({a=5 \;\text{m}}\) și \({b=10 \;\text{cm}}\), observăm că ambele mărimi sunt de același fel (lungimi), dar sunt exprimate în unități de măsură diferite (cm și m). De aceea, trebuie să transformăm pe \({a=5 \;\text{m}}\) în cm sau pe \({b=10 \;\text{cm}}\) în m.

Raportul este un număr, deci nu avem unitate de măsură.

Dacă valoarea raportului \({\frac{a}{b}}\) este mai mare decât 1, atunci raportul indică de câte ori mărimea de la numărător este mai mare decât cea de la numitor.

• fie \({a=7 \; \text{km}}\) și \({b=2 \; \text{km}}\)
• raportul dintre \({a}\) și \({b}\) este \({\frac{7}{2}}\); valoarea lui este \({3 {,} 5}\) pentru că \({7 : 2 = 3 {,} 5}\)
• înseamnă că \({7 \; \text{km} }\) este de \({3 {,} 5}\) ori mai mare decât \({2 \; \text{km}}\)

Dacă valoarea raportului \({\frac{a}{b}}\) este mai mică decât 1, atunci mărimea de la numărător este fracția \({\frac{a}{b}}\) din mărimea de la numitor.

• fie \({a=2 \; \text{km}}\) și \({b=7 \; \text{km}}\)
• raportul dintre \({a}\) și \({b}\) este \({\frac{2}{7}}\); raportul este mai mic decât 1 pentru că numărătorul este mai mic decât numitorul;
• înseamnă că \({2 \; \text{km} }\) este \({\frac{2}{7}}\) din \({7 \; \text{km}}\)

Alt mod de a scrie raportul dintre două mărimi de același fel (exprimate în aceeași unitate de măsură):

• de exemplu, în rețeta de prăjitură se precizează că este nevoie de 5 căni cu făină și 2 căni cu zahăr; raportul dintre făină și zahăr este \({\frac{5}{2}}\); putem înțelege că pentru fiecare 5 căni cu făină avem 2 căni cu zahăr; putem scrie \({5:2}\) (citim „5 la 2”);
• dacă vrem să facem o cantitate mai mare de prăjitură, putem înmulți cu același număr ambii membri ai raportului și obținem rapoarte echivalente:
• dublăm cantitățile și obținem \({10:4}\) (la 10 căni cu făină folosim 4 căni cu zahăr);
• triplă cantitățile și obținem \({15:6}\) (la 15 căni cu făină folosim 6 căni cu zahăr) etc.

∎ Raportul a două mărimi diferite

• Viteza - este raportul dintre distanță și timp
• \({v=\frac{\displaystyle d}{\displaystyle t}}\);
• de exemplu, Maria parcurge \({36 \; \text{m} }\) în \({24 \; \text{s} }\); rezultă că viteza ei este de \({1{,}5 \; \text{m/s}}\)

\({v=\frac{\displaystyle 36}{\displaystyle 24}=1{,}5 \; \text{m/s}}\)



• Concentrația unei soluții - este raportul dintre masa substanței care se dizolvă și masa soluției
• de exemplu, masa unei soluții de apă cu sare este \({100 \; \text{g} }\), iar masa sării este \({30 \; \text{g} }\), atunci concentrația soluției este \({\frac{\displaystyle 30}{\displaystyle 100}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 10}}\)


• Titlul unui aliaj - este raportul dintre masa metalului nobil și masa aliajului
• de exemplu, o monedă de aur cântărește \({34 \; \text{g} }\); ea conține \({17 \; \text{g} }\) de aur
• rezultă că titlul aliajului este \({\frac{\displaystyle 17}{\displaystyle 34 }=0{,}5}\)


• Scara unei hărți sau a unui desen - este raportul dintre distanța reală și distanța pe hartă sau pe desen
• distanța reală considerată este cea aeriană, în linie dreaptă (nu se consideră cea rutieră, care este, de obicei, mai mare, fiind în linie șerpuită)
• când se stabilește scara unei hărți, se folosește aceeași unitate de măsură
• de obicei, hărțile au precizată scara, inclusiv o reprezentare grafică a ei
• de exemplu, scara unei hărți este \({1 : 800\; 000}\); înseamnă că pentru \({1\; \text{cm} }\) de pe hartă avem \({800\; 000\; \text{cm} }\) pe teren, în realitate



\({800\; 000\; \text{cm} =8\; \text{km}}\)

\({1 \text{cm}}\) pe hartă înseamnă \({8\; \text{km}}\) în realitate

exemplu: distanța dintre Craiova și Timișoara este de \({258 \; \text{km} }\) în realitate

pe hartă vom avea \({258 : 8=32{,}25\; \text{cm}}\)

∎ Raportul procentual este de forma \({\frac{p}{100}}\) și se notează cu \({p \%}\) (se citește „\({p}\) la sută” sau „\({p}\) procente”).

• Dacă 20 de lalele din 100 sunt galbene, avem \({\frac{20}{100}}\) \({= 20 \%}\) lalele galbene, adică \({\frac{1}{5}}\) (o cincime).

∎ Proporția se referă la egalitatea a două rapoarte, în care termenii sunt diferiți de 0.

\({\frac{a}{b}}\) \({=}\) \({\frac{c}{d}}\), \({a \neq 0}\), \({b \neq 0}\), \({c \neq 0}\), \({d \neq 0}\) este o proporție, în care \({a, b, c, d}\) sunt termenii proporției.

• avem proporţiile
• \({\frac{20}{100}}\) \({=}\) \({\frac{1}{5}}\)
• \({\frac{12}{5}}\) \({=}\) \({\frac{24}{10}}\)
• \({\frac{20}{4}}\) \({=}\) \({\frac{10}{2}}\)

∎ Proprietatea fundamentală a proporțiilor

În proporția \({\frac{a}{b}}\) cu termenii nenuli, \({a}\) și \({d}\) se numesc extremi, iar \({b}\) și \({c}\) se numesc mezi.

Important! Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

• \({\frac{12}{5}}\) \({=}\) \({\frac{24}{10}}\) \({\iff 12 \cdot 10 = 5 \cdot 24 = 120}\)
• \({\frac{4}{3}}\) \({=}\) \({\frac{16}{12}}\) \({\iff 4 \cdot 12 = 3 \cdot 16 = 48}\)

Exersează! Rapoarte

Exersează 1 | Exersează 2

Exersează! Procente

Exersează 1 | Exersează 2