∎ Raționalizarea numitorului de forma \({a \pm \sqrt{b}}\), \({\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}\)

Raționalizarea numitorului de forma \({a\sqrt{b}}\) - prima parte

Raționalizarea numitorului înseamnă să amplificăm fracția astfel încât fracția echivalentă obținută să nu mai aibă radical la numitor. Pentru aceasta, folosim formula:

• produsul dintre sumă și diferență sau diferența a două pătrate:



\({(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}\)

★ Formule

• amplificăm fracția cu \({a - \sqrt{b}}\)



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a + \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle a - \sqrt{b}}{\displaystyle ( a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{\displaystyle a - \sqrt{b}}{\displaystyle a^2 - b}}\)



• amplificăm fracția cu \({a + \sqrt{b}}\)



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a - \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle a + \sqrt{b}}{\displaystyle ( a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{\displaystyle a - \sqrt{b}}{\displaystyle a^2 - b}}\)



• amplificăm fracția cu \({\sqrt{a} - \sqrt{b}}\)



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{a} - \sqrt{b}}{\displaystyle (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\displaystyle \sqrt{a} - \sqrt{b}}{\displaystyle a - b}}\)



• amplificăm fracția cu \({\sqrt{a} + \sqrt{b}}\)



\({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\displaystyle (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\displaystyle a - b}}\)

★ Exemple

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{3} - 1} = \frac{\displaystyle 2(\sqrt{3} + 1)}{\displaystyle (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}}\)

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{3} - 1}}\) \({= \frac{\displaystyle 2(\sqrt{3} + 1)}{\displaystyle (\sqrt{3})^2 - 1^2}}\)

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{3} - 1}}\) \({= \frac{\displaystyle 2(\sqrt{3} + 1)}{\displaystyle 3 - 1}}\)

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{3} - 1}}\) \({= \frac{\displaystyle \cancel{2}(\sqrt{3} + 1)}{\displaystyle \cancel{2}}}\)

\({\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \sqrt{3} - 1}}\) \({= \sqrt{3} + 1}\)

\({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle \sqrt{13} - \sqrt{6}} = \frac{\displaystyle 7(\sqrt{13} + \sqrt{6})}{\displaystyle (\sqrt{13} - \sqrt{6})(\sqrt{13} + \sqrt{6})}}\)

\({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle \sqrt{13} - \sqrt{6}}}\) \({= \frac{\displaystyle 7(\sqrt{13} + \sqrt{6})}{\displaystyle (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{6})^2}}\)

\({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle \sqrt{13} - \sqrt{6}}}\) \({= \frac{\displaystyle 7(\sqrt{13} + \sqrt{6})}{\displaystyle 13 - 6}}\)

\({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle \sqrt{13} - \sqrt{6}}}\) \({= \frac{\displaystyle \cancel{7}(\sqrt{13} + \sqrt{6})}{\displaystyle \cancel{7}}}\)

\({\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle \sqrt{13} - \sqrt{6}}}\) \({= \sqrt{13} + \sqrt{6}}\)