∎ Metoda substituției

★ Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma generală:

$$ \left\{ \begin{array}{c} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{array} \right. $$

★ Cum rezolvăm sistemul:

• din una dintre ecuațiile sistemului alegem o necunoscută pe care o scriem în funcție de cealaltă necunoscută;
• înlocuim necunoscuta aleasă în cealaltă ecuație;
• obținem o ecuație de gradul 1 cu o singură necunoscută pe care o rezolvăm și găsim valoarea unei necunoscute;
• înlocuim valoarea calculată în oricare dintre ecuații și găsim cea de-a doua necunoscută.

★ Exemple

1. Să rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=6 \\ 5x-y=3 \end{array} \right. $$

• din cea de-a doua ecuație îl scoatem pe \({y}\) în funcție de \({x}\) (a doua ecuație e mai simplă, \({y }\) are coeficientul -1, de aceea am ales această ecuație) ;
• pe \({y }\) îl trecem în membrul drept cu semn schimbat, \({-y }\) devine \({y }\), iar pe 3 îl trecem în membrul stâng, devenind -3;
• \({y = 5x - 3 }\)
• îl înlocuim pe \({y}\) în prima ecuație;
• \({2x + 3(5x - 3) = 6 }\)
• efectuăm calculele;
• \({2x + 15x - 9 = 6 }\)
• pe -9 îl trecem cu semn schimbat în membrul drept, devenind +9;
• \({2x + 15x = 9 + 6 }\)
• \({17x = 15 \; \; \; \; \mid \; : \; 17}\)
• împărțim ambii membri ai ecuației cu 17 (coeficientul lui \({x}\))


• \({x = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17} }\)


• îl înlocuim pe \({x = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17} }\) în ecuația \({y = 5x - 3 }\)
• \({y = 5 \cdot \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17} - 3 }\)
• aducem fracțiile la același numitor
• \({y = \frac{\displaystyle 5 \cdot 15 - 3 \cdot 17 }{\displaystyle 17}}\)


• \({y = \frac{\displaystyle 75 - 51 }{\displaystyle 17}}\)


• \({y = \frac{\displaystyle 24 }{\displaystyle 17}}\)


• am obținut soluția \({S = \left\{\left(\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 17}, \frac{\displaystyle 24}{\displaystyle 17}\right)\right\} }\)

2. Să rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{array}{c} x+3y=4 \\ 5x+15y=20 \end{array} \right. $$

• din prima ecuație îl scoatem pe \({x}\) în funcție de \({y}\);
• \({x = 4 - 3y }\)
• îl înlocuim pe \({x}\) în a doua ecuație
• \({5(4 - 3y) + 15y = 20 }\)
• \({20 - \cancel{15y} + \cancel{15y} = 20 }\)
• \({20 = 20 }\) adevărat pentru orice \({x, y \in \mathbf{R}}\)
• rezultă că sistemul are o infinitate de soluții de forma \({S = \left\{\left(4 - 3y_0, y_0\right) \mid y_0 \in \mathbf{R} \right\} }\)
• sau, dacă îl scriem pe \({y}\) în funcție de \({x}\), avem soluțiile de forma \({S = \left\{\left(x_0, \frac{\displaystyle 4 - x_0}{\displaystyle 3}\right) \mid x_0 \in \mathbf{R} \right\} }\)

3. Să rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left\{ \begin{array}{c} 5x+y=6 \\ 10x+2y=14 \end{array} \right. $$

• observăm că, dacă împărțim a doua ecuație cu 2, obținem ecuația echivalentă \({5x + y = 7 }\);
• sistemul devine:

$$ \left\{ \begin{array}{c} 5x+y=6 \\ 5x+y=7 \end{array} \right. $$

• adică \({6 = 7 }\) fals;
• rezultă că sistemul nu are soluții;
• \({S = ∅ }\).

Exersează!

Exersează 1 | Exersează 2 | Exersează 3 | Exersează 4