∎ Ecuația de gradul I în \({ℤ}\)

❖ Ecuația este o egalitate în care avem un termen necunoscut (notat de obicei cu litera \({x}\)). Acest termen necunoscut se numeşte necunoscuta ecuaţiei.

❖ Ecuația de gradul I este o ecuaţie în care necunoscuta \({x}\) este o putere cu exponentul 1.

❖ Ecuația de gradul I are forma generală \({ ax + b = 0, a\neq0}\).

• \({ a}\) este coeficientul necunoscutei
• \({ b}\) este termenul liber
• ce este înaintea egalului se numeşte membrul stâng sau membrul 1 al ecuaţiei
• ce este după egal se numeşte membrul drept sau membrul 2 al ecuaţiei

❖Soluţia (sau rădăcina) ecuației de gradul I este valoarea pe care trebuie s-o ia necunoscuta pentru ca egalitatea să fie adevărată.

❖ Ecuația de gradul I în \({ℤ}\) are soluţia în mulţimea numerelor întregi (în \({ℤ}\)).

❖ Rezolvarea ecuaţiei de gradul I în \({ℤ}\) înseamnă să găsim numărul întreg pentru care egalitatea este adevărată.

❖ Cum rezolvăm ecuaţia de gradul I

• trecem într-o parte a egalului toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealaltă parte a egalului termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).

Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: plus devine minus, minus devine plus.

• se efectuează calculele în fiecare parte a semnului egal
• se obţine o nouă ecuaţie de forma \({ax = b}\) (echivalentă cu ecuaţia dată)
• se împart ambii membri ai ecuaţiei \({ax = b}\) cu coeficientul \({a}\) al necunoscutei; soluţia ecuaţiei date este număr întreg dacă coeficientul necunoscutei este divizor al termenului liber în ecuaţia nou obţinută
• verificăm dacă soluţia găsită aparţine mulţimii specificate în cerinţă

❖ Reguli de calcul (care explică şi trecerea dintr-o parte în alta a egalului cu semn schimbat)

• dacă adunăm acelaşi număr la ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată
• dacă scădem acelaşi număr din ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată
• dacă înmulţim cu acelaşi număr ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată
• dacă împărţim la acelaşi număr ambii membri ai unei ecuaţii, obţinem o ecuaţie echivalentă cu cea dată

❖ Exemple de ecuaţii de gradul I în \({ℤ}\)

• \({x + 3 = 14}\)

• trecem într-o parte a egalului toți termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealaltă parte a egalului termenii liberi (care nu conțin necunoscuta \({x}\)).

+3 trece în partea cealaltă şi devine -3

\({x = 14 - 3}\)

• se efectuează calculele în fiecare parte a semnului egal

\({x = 11}\)

• 11 este număr întreg, deci este soluţie a ecuaţiei date

• \({x - 6 = 9}\)

• \({x = 9 + 6}\)
• \({x = 15}\)
• 15 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date

• \({4x : 2 = 10}\)

• înmulţim cu 2 ambii membri ai ecuaţiei

\({4x = 20}\)

• împărţim la 4 ambii membri ai noii ecuaţii

\({x = 5}\)

• 5 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date

• \({7 - 3x = 43}\)

• pe \({- 3x}\) îl trecem în partea cealaltă a egalului cu semn schimbat şi devine \({3x}\)
• pe 43 îl trecem în partea cealaltă cu semn schimbat şi devine -43

\({3x = 7 - 43}\)

\({3x = -36}\)

• împărţim la 3 ambii membri ai noii ecuaţii

\({x = -12}\)

• -12 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date

• \({3x - 4 = 5x + 6}\)

• trecem în membrul 1 al ecuaţiei termenii care conţin necunoscuta, iar în membrul 2 vom avea termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face cu semn schimbat.
• pe 5x îl trecem în primul membru al ecuaţiei şi devine -5x
• pe -4 îl trecem în al doilea membru al ecuaţiei şi devine 4

\({3x - 5x = 6 + 4}\)

• efectuăm calculele în fiecare membru al ecuaţiei

\({-2x = 10}\)

• împărţim fiecare membru al ecuaţiei cu -2

\({x = -5}\)

• -5 ∈ \({ℤ}\), deci este soluţie a ecuaţiei date