∎ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor în \({ℤ}\)

Etapele rezolvării

• stabilim ce ştim şi ce trebuie să aflăm;
• notăm necunoscuta cu \({x}\) sau cu altă literă; dacă sunt mai multe necunoscute, notăm cu \({x}\) una dintre ele, iar pe celelalte le exprimăm în funcţie de \({x}\);
• scriem ecuaţia conform datelor problemei;
• rezolvăm ecuaţia;
• stabilim soluţia ecuaţiei şi formulăm răspunsul problemei;
• verificăm dacă soluţia găsită îndeplineşte condiţiile date în enunţul problemei.

Exemple

• Dacă se aşează câte doi elevi în bancă, rămân 5 elevi în picioare; dacă se aşează câte 3 elevi în bancă, rămân două bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci sunt?

• avem două necunoscute: numărul băncilor şi numărul elevilor
• notăm cu \({x}\) numărul băncilor şi încercăm să scriem numărul elevilor în funcţie de numărul băncilor
• prima situaţie: Dacă se aşează câte doi elevi în bancă, rămân 5 elevi în picioare
• doi elevi în bancă înseamnă \({2x}\) elevi
• rămân 5 elevi în picioare înseamnă \({ + 5}\)
• prima situaţie scrisă sub formă de ecuaţie: \({2x + 5}\)
• \({2x + 5}\) înseamnă numărul elevilor scris folosind datele din prima situaţie.
• a doua situaţie: Dacă se aşează câte 3 elevi în bancă, rămân două bănci libere
• rămân două bănci libere
• înseamnă că băncile ocupate cu elevi sunt \({x - 2}\)
• în aceste \({x - 2}\) bănci stau câte 3 elevi, deci avem \({3(x - 2)}\) elevi (atenţie! nu \({3x}\) elevi)
• \({3(x - 2)}\) înseamnă numărul elevilor scris folosind datele din a doua situaţie.
• numărul elevilor este acelaşi în ambele situaţii
• înseamnă că \({2x + 5 = 3(x - 2)}\)
• rezolvăm ecuaţia \({2x + 5 = 3(x - 2)}\)
• \({2x + 5 = 3x - 6}\)
• \({3x - 2x = 5 + 6}\)
• \({x = 11}\); avem 11 bănci
• înlocuim numărul băncilor în una dintre cele două situaţii pentru a calcula numărul elevilor
• \({2x + 5 = 2 \cdot 11 + 5 = 27}\) elevi
• sunt 11 bănci şi 27 de elevi

• Suma a trei numere consecutive este 276. Calculaţi numerele.

• numerele consecutive le notăm cu \({x}\), \({x + 1}\) şi \({x + 2}\)
• scriem ecuaţia \({x + x + 1 + x + 2 = 276}\)
• \({3x + 3 = 276}\)
• \({3x = 276 - 3}\)
• \({3x = 273 \;\;\;\; \mid :3}\)
• \({x = 91}\)
• numerele sunt 91, 92 şi 93
• verificăm: \({91 + 92 + 93 = 276}\)

• Din triplul unui număr întreg se scade 25 şi se obţine 17. Aflaţi numărul.

• notăm cu \({x}\) numărul întreg pe care vrem să-l aflăm
• triplul unui număr întreg înseamnă \({3x}\)
• scădem 25 înseamnă -25
• scriem ecuaţia corespunzătoare problemei \({3x - 25 = 17}\)
• \({3x = 25 + 17}\)
• \({3x = 42 \;\;\;\; \mid :3}\)
• \({x = 14}\)
• facem proba: \({3 \cdot 14 - 25 = 42 - 25 = 17}\)
• numărul căutat este 14, este număr întreg aşa cum cere problema

Exersează! Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuațiilor și inecuațiilor în mulțimea numerelor întregi

Exersează 1 | Exersează 2