∎ Compararea şi ordonarea numerelor reale
* * *
Orice număr real poate fi reprezentat printr-un punct pe axa numerelor. Dintre două numere reale, este mai mare cel care este reprezentat la dreapta pe axa numerelor.
Fie \({a}\) și \({b}\) două numere reale, numărul \({a}\) reprezentat pe axa numerelor prin punctul \({A}\), iar numărul \({b}\) reprezentat pe axa numerelor prin punctul \({B}\).
Numărul \({a}\) este mai mare decât numărul \({b}\) dacă punctul \({A}\) este la dreapta punctului \({B}\) pe axa numerelor.
Numărul \({a}\) este mai mic decât numărul \({b}\) dacă punctul \({A}\) este la stânga punctului \({B}\) pe axa numerelor.
Numărul \({a}\) este egal cu numărul \({b}\) dacă punctul \({A}\) este identic cu punctul \({B}\) pe axa numerelor.
Pentru compararea a două numere, se folosește unul dintre semnele:
- \({=}\) egal;
- \({<}\) mai mic strict;
- \({\le}\) mai mic sau egal;
- \({>}\) mai mare strict;
- \({\ge}\) mai mare sau egal.
Fie \({x}\) și \({y}\) numere reale pozitive.
- orice număr negativ este mai mic decât 0;
- orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv;
- cum comparăm fracții cu numitori egali: este mai mare fracția cu numitorul mai mare;
- cum comparăm fracții cu numărători egali: este mai mare fracția cu numitorul mai mic;
- cum comparăm fracții cu numitori și numărători diferiți: dacă \({x \cdot n < y \cdot m}\), atunci \({\frac{x}{y} < \frac{m}{n}}\) (numitorii diferiți de 0);
- dacă \({x < y}\), atunci \({\sqrt{x} < \sqrt{y}}\);
- dacă \({\sqrt{x} < \sqrt{y}}\), atunci \({x < y}\);
- dacă \({x < a}\) și \({a < y}\), atunci \({x < y}\), cu \({a}\) număr real;
- dacă \({x, y < 0}\), atunci \({x < y \Longleftrightarrow -x > -y}\);
- dacă vrem să comparăm numere de forma \({a\sqrt{x}, \text{cu} \; a \ge 0}\), atunci mai întâi introducem factorii sub radical, apoi comparăm numerele de sub radical;
- dacă \({a < x < b}\) și \({c < y < d}\) și \({b \le c}\), atunci \({x < y}\).