A. Fără a efectua calculele, completați cu semnul potrivit (<, >, =), astfel încât să obțineți afirmații adevărate.
a) \({5^{66}+2}\)\({5^{66}+14}\)
b) \({2^{25}+6}\)\({2^{25}-3}\)
c) \({13^{36}-45}\)\({13^{36}-55}\)
d) \({72500-4^{8}}\)\({84000-4^{8}}\)
e) \({4^{25}:2}\)\({4^{25}:4}\)
f) \({4^{25}:2}\)\({4^{29}:2}\)
g) \({7^{6}-10000}\)\({7^{4}-10000}\)
h) \({2^{21} \cdot 17}\)\({2^{21} \cdot 35}\)
i) \({53 \cdot 9^{14}}\)\({53 \cdot 7^{14}}\)
j) \({65536 : 8^{3}}\)\({65536 : 8^{5}}\)
k) \({3^{56} \cdot 6}\)\({3^{53} \cdot 162}\)
l) \({2^{28} \cdot 36}\)\({2^{30} \cdot 10}\)
B. Fie \({x=2^{46} + 2^{44}+2^{48}}\) și \({y=2^{40} + 2^{49}}\). Care dintre afirmațiile următoare este adevărată? Completați casetele cu „A” pentru „adevărat” sau cu „F” pentru „fals”.
Avem de comparat două sume; le comparăm termen cu termen:
\({5^{66}= 5^{66}}\)
\({2<14}\)
rezultă că \({5^{66}+2<5^{66}+14}\)
b) \({2^{25}+6}\) > \({2^{25}-3}\) pentru că:
în membrul stâng, la \({2^{25}}\) adunăm ceva
în membrul drept, tot din \({2^{25}}\) scădem ceva
c) \({13^{36}-45}\) > \({13^{36}-55}\) pentru că:
în membrul stâng, din \({13^{36}}\) scădem 45
în membrul drept, tot din \({13^{36}}\) scădem 55, mai mult decât în membrul stâng
45 este mai mic decât 55
descăzutul este același, deci este mai mare diferența care are scăzătorul mai mic
d) \({72500-4^{8}}\) < \({84000-4^{8}}\) pentru că:
scăzătorul este același, diferența care are descăzutul mai mic este mai mică
altfel spus, dacă descăzutul se micșorează, iar scăzătorul rămâne același, atunci rezultatul se micșorează și el
e) \({4^{25}:2}\) > \({4^{25}:4}\) pentru că:
dacă împărțitorul crește, iar deîmpărțitul rămâne același, atunci rezultatul se micșorează (aceeași cantitate se imparte în mai multe părți)
f) \({4^{25}:2}\) < \({4^{29}:2}\) pentru că:
\({4^{25} < 4^{29}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)
dacă deîmpărțitul crește, iar împărțitorul rămâne același, atunci rezultatul crește
g) \({7^{6}-10000}\) > \({7^{4}-10000}\) pentru că:
\({7^{6} > 7^{4}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)
dacă descăzutul se micșorează, iar scăzătorul rămâne același, atunci rezultatul se micșorează
h) \({2^{21} \cdot 17}\) < \({2^{21} \cdot 35}\) pentru că:
dacă unul dintre factorii unui produs crește, iar celălalt rămâne același, atunci rezultatul crește
i) \({53 \cdot 9^{14}}\) > \({53 \cdot 7^{14}}\) pentru că:
\({9^{14} > 7^{14}}\) (puterile au același exponent, deci comparăm bazele)
dacă unul dintre factorii unui produs se micșorează, iar celălalt rămâne același, atunci rezultatul se micșorează
j) \({65536 : 8^{3}}\) > \({65536 : 8^{5}}\) pentru că:
\({8^{3} < 8^{5}}\) (puterile au aceeași bază, deci comparăm exponenții)
dacă împărțitorul crește, iar deîmpărțitul rămâne același, atunci rezultatul se micșorează
k) \({3^{56} \cdot 6}\) = \({3^{53} \cdot 162}\) pentru că:
cele două produse nu au factori comuni; totuși, observăm că fiecare dintre ele are ca factor o putere a lui 3; cum putem folosi acest lucru?
încercăm să obținem aceeași putere a lui 3 în ambele produse (aceeași bază și același exponent); mai exact, scriem puterea care are exponentul mai mare în funcție de puterea care are exponentul mai mic. Folosim regulle de calcul cu puteri:
comparăm termen cu termen și obținem că \({3^{53} \cdot 162=3^{53} \cdot 162}\)
l) \({2^{28} \cdot 36}\) < \({2^{30} \cdot 10}\) pentru că:
cele două produse nu au factori comuni; totuși, observăm că fiecare dintre ele are ca factor o putere a lui 2; cum putem folosi acest lucru?
încercăm să obținem aceeași putere a lui 2 în ambele produse (aceeași bază și același exponent); mai exact, scriem puterea care are exponentul mai mare în funcție de puterea care are exponentul mai mic. Folosim regulle de calcul cu puteri:
Avem de comparat \({x=\textcolor{RoyalBlue}{2^{44}} \cdot 21}\) și \({y=\textcolor{RoyalBlue}{2^{40}} \cdot 513}\). Observăm că unul dintre factorii fiecărui produs este o putere a lui 2 (\({2^{44}}\) și \({2^{40}}\)).
Ce am putea face astfel încât să avem aceeași putere a lui 2 în ambele cazuri (baza să fie 2, iar exponenții să fie egali)?
Puterea cu exponentul mai mare o scriem în funcție de puterea cu exponentul mai mic. Vom obține:
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.