A.
- a) Numerele în ordine crescătoare sunt x, y, w, z pentru că:
\({x=2^{2^{4}}=2^{16}}\)
\({y=2^{6^{2}}=2^{36}}\)
Rezultă că \({x < y}\) (au aceeași bază, comparăm exponenții: 16 este mai mic decât 36).
Avem \({y=2^{6^{2}}}\) și \({w=3^{6^{2}}}\). Cele două puteri au același exponent (egal cu \({6^{2}}\)); comparăm bazele: 2 este mai mic decât 3, deci \({y < w}\).
Am obținut că \({x < y < w}\).
Avem \({w=3^{6^{2}}}\) și \({z=3^{6^{8}}}\). Cele două puteri au aceeași bază (egală cu 3); comparăm exponenții. Exponenții sunt puterile \({6^{2}}\) și \({6^{8}}\); acestea au aceeași bază (egală cu 6), iar exponenții sunt 2 și 8. Cum 2 este mai mic decât 8, rezultă că \({w < z}\).
Am obținut că \({x < y < w < z}\).
- b) Numerele în ordine crescătoare sunt w, y, x, z pentru că:
Observăm că toate numerele pot fi scrise ca puteri cu baza 8. Efectuăm calculele, aplicând regulile de calcul cu puteri:
\({w=(2^{3})^{20}=8^{20}}\)
\({x=(3^{2}-1)^{7^{2}}=(9-1)^{49}=8^{49}}\)
\({y=[(2^{2} \cdot 2)^{5}]^{9}=[(2^{2} \cdot 2^{1})^{5}]^{9}=[(2^{2+1})^{5}]^{9}=[(2^{3})^{5}]^{9}=(8^{5})^{9}=8^{5 \; \cdot \; 9}=8^{45}}\)
\({z=(8^{6})^{10}=8^{6 \; \cdot \; 10 }=8^{60}}\)
Comparăm exponenții:
\({20 < 45 < 49 < 60 }\)
Rezultă că \({w < y < x < z }\).
- c) Numerele în ordine crescătoare sunt z, w, x, y pentru că:
Numerele sunt sume de puteri cu baza 2; exponenții sunt mari, deci nu calculăm puterile.
Încercăm să dăm factor comun puterea cu exponentul cel mai mic. Să vedem ce obținem.
\({w=2^{56}+2^{57}+2^{50}+2 \cdot 2^{53}}\)
\({\textcolor{white}{w}=2^{50}(2^{56-50}+2^{57-50}+2^{50-50}+2 \cdot 2^{53-50})}\)
\({\textcolor{white}{w}=2^{50}(2^6+2^7+2^0+2 \cdot 2^{3})}\)
\({\textcolor{white}{w}=2^{50}(64+128+1+2 \cdot 8)}\)
\({\textcolor{white}{w}=2^{50}(193+16)}\)
\({\textcolor{white}{w}=2^{50} \cdot 209}\)
\({x=2^{55}+2^{58}+2 \cdot 2^{51}+2^{52}}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{51}(2^{55-51}+2^{58-51}+2 \cdot 2^{51-51}+2^{52-51})}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{51}(2^4+2^7+2 \cdot 2^{0}+2^1)}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{51}(16+128+2 \cdot 1+2)}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{51} \cdot 148}\)
\({y=2^{55}+2 \cdot 2^{57}+2^{50}+2^{56}}\)
\({\textcolor{white}{y}=2^{50}(2^{55-50}+2 \cdot 2^{57-50}+2^{50-50}+2^{56-50})}\)
\({\textcolor{white}{y}=2^{50}(2^5+2 \cdot 2^{7}+2^0+2^6)}\)
\({\textcolor{white}{y}=2^{50}(32+2 \cdot 128+1+64)}\)
\({\textcolor{white}{y}=2^{50}(32+256+65)}\)
\({\textcolor{white}{y}=2^{50} \cdot 353}\)
\({z=2^{57}+2 \cdot 2^{53}+2^{55}+2^{54}}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{53}(2^{57-53}+2 \cdot 2^{53-53}+2^{55-53}+2^{54-53})}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{53}(2^4+2 \cdot 2^{0}+2^2+2^1)}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{53}(16+2 \cdot 1+4+2)}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{53}(16+2+6)}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{53} \cdot 24}\)
Am obținut numerele \({w}\), \({x}\), \({y}\) și \({z}\) scrise ca produse în care unul dintre factori este o putere a lui 2. Acești factori sunt \({2^{50}}\), \({2^{51}}\), \({2^{50}}\) și \({2^{53}}\).
Încercăm să scriem aceste numere ca produse în care unul dintre factori să fie același. Pentru asta, scriem puterile lui 2 în funcție de puterea cea mai mică (aceasta este \({2^{50}}\)). Folosim regulile de calcul cu puteri.
\({w=2^{50} \cdot 209}\) - rămâne la fel
\({x=2^{51} \cdot 148}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{50+1} \cdot 148}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{50} \cdot 2^{1} \cdot 148}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{50} \cdot 2 \cdot 148}\)
\({\textcolor{white}{x}=2^{50} \cdot 296}\)
\({y=2^{50} \cdot 353}\) - rămâne la fel
\({z=2^{53} \cdot 24}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{50+3} \cdot 24}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{50} \cdot 2^{3} \cdot 24}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{50} \cdot 8 \cdot 24}\)
\({\textcolor{white}{z}=2^{50} \cdot 192}\)
Am obținut numerele \({w}\), \({x}\), \({y}\) și \({z}\) scrise ca produse în care unul dintre factori este același (egal cu \({2^{50}}\)). Pentru a compara cele patru numere, trebuie să comparăm ceilalți factori. Avem:
\({192 < 209 < 296 < 353}\)
Rezultă că \({z < w < x < y}\).
B.
- vom calcula numărul \({x}\), folosind formula sumei de puteri:
\({1+a+a^{2}+\;...\;+a^{n}=\frac{\displaystyle a^{n+1}-1}{\displaystyle {a-1}}}\)
- pentru a-l calcula pe \({x}\), observăm mai întâi suma; termenii sunt puteri ale lui 9, începând cu exponentul 2 până la 54.
aplicăm formula de mai sus pentru \({a=9}\); apoi vom scădea pe 1 și pe 9, pentru a obține suma care ne trebuie nouă
\({1+9+9^{2}+\;...\;+9^{54}=\frac{\displaystyle 9^{54+1}-1}{\displaystyle {9-1}}}\)
\({=\frac{\displaystyle 9^{55}-1}{\displaystyle {8}}}\)
\({\underbrace{1+9}_{\text{10}}+\underbrace{9^{2}+\;...\;+9^{54}}_{x}=\frac{\displaystyle 9^{55}-1}{\displaystyle {8}}}\)
\({x=\frac{\displaystyle 9^{55}-1}{\displaystyle {8}}-10}\)
\({=\frac{\displaystyle 9^{55}-1}{\displaystyle {8}}-\frac{\displaystyle 80}{\displaystyle {8}}}\)
\({=\frac{\displaystyle 9^{55}-1-80}{\displaystyle {8}}}\)
\({=\frac{\displaystyle 9^{55}-81}{\displaystyle {8}}}\) (din \({9^{55}}\) scădem 1, apoi încă 80; cât scădem în total? răspuns: scădem 1 plus 80, adică 81)
- avem de comparat numerele \({x=\frac{\displaystyle 9^{55}-81}{\displaystyle {8}}}\) și \({y=\frac{\displaystyle 9^{59}-81}{\displaystyle {8}}}\).
- cele două fracții au același numitor (egal cu 8); comparăm numărătorii (este mai mare fracția care are numărătorul mai mare)
- comparăm \({9^{55}-81}\) și \({9^{59}-81}\); avem același scăzător (egal cu 81), deci este mai mare diferența care are descăzutul mai mare
- comparăm \({9^{55}}\) și \({9^{59}}\);
- avem două puteri cu aceeași bază, comparăm exponenții; 55 este mai mic decât 59, deci \({9^{55} < 9^{59}}\)
- rezultă că \({9^{55} - 81 < 9^{59}-81}\)
- rezultă că \({x}\) < \({y}\)
C.
- a) calculăm primele puteri ale lui 6, până obținem primul rezultat mai mare sau egal cu 200:
\({6^{0} = 1}\) mai mic decât 200, este bine
\({6^{1} = 6}\) mai mic decât 200, este bine
\({6^{2} = 36}\) mai mic decât 200, este bine
\({6^{3} = 216}\) ne oprim pentru că 216 este mai mare decât 200
Rezultă că \({x}\) poate fi 0, 1 sau 2.
- b) calculăm primele puteri ale lui 3, până obținem primul rezultat mai mare decât 81:
\({3^{0} = 1}\) mai mic decât 81, este bine
\({3^{1} = 3}\) mai mic decât 81, este bine
\({3^{2} = 9}\) mai mic decât 81, este bine
\({3^{3} = 27}\) mai mic decât 81, este bine
\({3^{4} = 81}\) ne oprim pentru că am obținut chiar 81, următoarea putere a lui 3 va fi mai mare decât 81
Rezultă că \({x}\) poate fi 0, 1, 2, 3 sau 4.
- c) avem \({2^{14} \le 2^{x} < 2^{23}}\); cele trei puteri au aceeași bază, înseamnă că relația de ordine este dată de ordinea exponenților; rezultă că \({14 \le x < 23}\)
Numerele mai mari sau egale cu 14 și mai mai mici decât 23 sunt 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 sau 22.
Rezultă că \({x}\) poate fi 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 sau 22.
- d) avem \({7^{3} < 7^{2x} \le 7^{19}}\); cele trei puteri au aceeași bază, înseamnă că relația de ordine este dată de ordinea exponenților; rezultă că \({3 < 2x \le 19}\)
Mai întâi stabilim valorile pe care poate să le ia \({2x}\), apoi îl vom calcula pe \({x}\).
Numerele de forma \({2x}\) sunt numere pare. Trebuie să aflăm numerele pare mai mari decât 3 și mai mici sau egale cu 19. Acestea sunt 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 și 18 (valorile pe care poate să le ia \({2x}\)).
Dacă \({2x = 4}\), atunci \({x = 2}\) (ce număr înmulțit cu 2 ne dă 4?).
Dacă \({2x = 6}\), atunci \({x = 3}\) (alt mod de a gândi: împărțim ambii membri ai egalității cu 2).
Dacă \({2x = 8}\), atunci \({x = 4}\).
Dacă \({2x = 10}\), atunci \({x = 5}\).
Dacă \({2x = 12}\), atunci \({x = 6}\).
Dacă \({2x = 14}\), atunci \({x = 7}\).
Dacă \({2x = 16}\), atunci \({x = 8}\).
Dacă \({2x = 18}\), atunci \({x = 9}\).
Rezultă că \({x}\) poate fi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9.