a) Atunci când scriem un interval, în capătul din stânga avem numărul mai mic. De aceea, notația \({(-5,-6)}\) nu reprezintă un interval, pentru că -5 este mai mare decât -6.

Dacă vrem să scriem intervalul deschis de la -6 la -5, scriem \({(-6,-5)}\).

b) Infinitul nu este un număr, este o notație care ne permite să considerăm numere oricât de mari (mulțimea numerelor reale este infinită). De aceea, folosim paranteza deschisă (mică) atunci când folosim simbolul \({∞}\).

Dacă vrem să scriem intervalul de la 2 la plus infinit, închis la stânga, scriem \({[2, +∞)}\).

c) Atunci când scriem un interval, în capătul din stânga avem numărul mai mic. De aceea, notația \({(3,2)}\) nu reprezintă un interval, pentru că 3 este mai mare decât 2.

Dacă vrem să scriem intervalul deschis de la 2 la 3, scriem \({(2,3)}\).

d) Este corect.

e) Atunci când scriem un interval, în capătul din stânga avem numărul mai mic. De aceea, notația \({[-10,-23)}\) nu reprezintă un interval, pentru că -10 este mai mare decât -23.

Dacă vrem să scriem intervalul de la -23 la -10, închis la stânga și deschis la dreapta, scriem \({[-23,-10)}\).

f) Infinitul nu este un număr, este o notație care ne permite să considerăm numere oricât de mari (mulțimea numerelor reale este infinită). De aceea, la \({-∞}\) și la \({+∞}\) intervalul este întotdeauna deschis (folosim paranteaza deschisă).

Dacă vrem să scriem intervalul de la minus infinit la 3, închis la dreapta, scriem \({(-∞, 3]}\).

g) Este corect.

h) Atunci când ne referim la minus infinit, semnul „-” (minus) este obligatoriu să fie în fața simbolului \({∞}\).

Atunci când ne referim la plus infinit, semnul „+” poate să lipsească din fața simbolului \({∞}\).

Dacă vrem să scriem intervalul de la minus infinit la 3, închis la dreapta, scriem \({(-∞, 3]}\).

• a) Numerele naturale sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 100, 101, 102 etc.



Numerele naturale cuprinse în intervalul \({[-5, 11)}\) trebuie să fie mai mari sau egale cu -5 și mai mici strict decât 11. Cele patru exemple cerute sunt: 1, 2, 3 și 4.

• b) Numerele întregi includ numerele naturale; pe lângă acestea, avem numerele întregi negative: -1, -2, -3, etc.



Numerele întregi cuprinse în intervalul \({[-10, 20]}\) trebuie să fie mai mari sau egale cu -10 și mai mici sau egale cu 20. Cele patru exemple cerute sunt: -10, -9, -8 și -7.

• c) Numerele raționale includ numerele întregi; pe lângă acestea, mai includ fracțiile ordinare, fracțiile zecimale finite și fracțiile zecimale periodice.



Numerele întregi cuprinse în intervalul \({(5, 6)}\) trebuie să fie mai mari strict decât 5 și mai mici strict decât 6 (intervalul nu conține extremitățile). Cele patru exemple cerute sunt: \({5{,}1}\); \({5{,}2}\); \({5{,}3}\) și \({5{,}4}\).

• d) Numerele iraționale sunt cele care nu pot fi scrise sub formă de fracție. Când este vorba de numere iraționale, ne gândim la radicali.



Vrem să găsim patru numere raționale cuprinse în intervalul \({(0, 3]}\), adică mai mari strict decât 0 și mai mici sau egale cu 3.

Ne amintim că \({\sqrt{2}}\) este număr irațional, egal cu \({1{,}41421356\ldots}\), deci este inclus în intervalul dat.

Deoarece \({\sqrt{2}}\) este număr irațional, înseamnă că și \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\), \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 3}}\) și \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 4}}\) sunt numere iraționale.

Deoarece \({\sqrt{2}}\) este mai mic decât 3, înseamnă că și \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\), \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 3}}\) și \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 4}}\) sunt mai mici decât 3 (deoarece \({\sqrt{2} < 3 }\), prin împărțirea lui cu un număr natural, obținem numere mai mici decât 3). Ele sunt și mai mari decât zero, deci sunt cuprinse în intervalul dat.

Cele patru exemple cerute sunt \({\sqrt{2}}\), \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\), \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 3}}\) și \({\frac{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 4}}\).

• e) Trebuie să găsim două numere raționale și două numere iraționale cuprinse în intervalul \({(1,2)}\). Intervalul nu conține extremitățile (capetele).



Două numere raționale cuprinse în acest interval sunt \({1{,}1}\) și \({1{,}2}\).

La subpunctul anterior l-am găsit pe \({\sqrt{2}}\) care este număr irațional egal cu \({1{,}41421356\ldots}\), deci este inclus în intervalul dat.

Mai avem de găsit un număr irațional cuprins în intervalul dat; îl cercetăm pe \({\sqrt{3}}\). Este mai mare strict decât 1 și mai mic strict decât 2?

Știm că, dacă \({x < y}\) sunt numere reale pozitive, atunci \({\sqrt{x} < \sqrt{y}}\).

Pornim de aici: \({2=\sqrt{4}}\).

Deoarece \({3 < 4}\), înseamnă că \({\sqrt{3} < \sqrt{4}}\), adică \({\sqrt{3} < 2}\).

Deoarece \({2 < 3}\), înseamnă că \({\sqrt{2} < \sqrt{3}}\).

Avem \({1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2}\). Rezultă că două exemple de numere iraționale cuprinse în intervalul \({(1,2)}\) sunt \({\sqrt{2}}\) și \({\sqrt{3}}\). Putem verifica cu calculatorul; obținem că \({\sqrt{3} = 1{,}732050\ldots}\).