Avem intervalul \({[-5, 7)}\).

• intervalul conține extremitatea stângă (pe -5) și nu conține extremitatea dreaptă (pe 7);
• reprezentăm intervalul pe axa numerelor reale; trasăm o linie dreaptă, stabilim sensul (săgeata spre dreapta), originea 0 și unitatea de măsură:



• numerele naturale incluse în intervalul dat sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6;
• numerele întregi incluse în intervalul dat sunt -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6;
• sunt 7 numere naturale incluse în intervalul \({[-5, 7)}\);
• sunt 12 numere întregi incluse în intervalul \({[-5, 7)}\);
• le scriem în ordine descrescătoare (de la cel mai mare la cel mai mic): 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4 și -5;
• următoarele patru întrebări se referă la relația de ordine dintre numerele cuprinse în intervalul dat; de aceea, este folositor să observăm că:

\({\textcolor{Bittersweet}{-7 < -6 < }-5 < -4 < \ldots < 4 < 5 < 6 \textcolor{Bittersweet}{< 7 < 8}}\)

• numerele naturale se află la dreapta originii (la dreapta lui 0), cu cât ne depărtăm de origine, cu atât numerele naturale cresc; de aceea, pentru a răspunde la întrebările „Care este cel mai mare număr natural din interval” și „Care este cel mai mic număr natural din afara intervalului”, cercetăm extremitatea dreaptă a intervalului;
• observăm că cel mai mare număr natural din intervalul \({[-5, 7)}\) este 6;
• după 6, următorul număr natural este 7 (mai mare decât 6); acesta nu aparține intervalului dat;
• toate celelalte numere naturale care urmează după 7 sunt mai mari decât acesta (adică 7 este mai mic decât numerele care urmează după el);
• înseamnă că cel mai mic număr natural care nu este în intervalul \({[-5, 7)}\) este 7;
• pentru a răspunde la întrebările „Care este cel mai mic număr întreg care aparține intervalului” și „Care este cel mai mare număr întreg negativ care nu aparține intervalului”, cercetăm extremitatea stângă a intervalului;
• numerele întregi incluse în intervalul dat sunt -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6;
• observăm că cel mai mic număr întreg din intervalul \({[-5, 7)}\) este -5;
• la stânga lui -5, următorul număr întreg este -6; cum este -6 față de -5?;
• -6 este mai mic decât -5;
• la stânga lui -6, următorul număr întreg este -7; cum este -7 față de -6?;
• -7 este mai mic decât -6;
• cu cât ne depărtăm de origine spre stânga, cu atât numerele se micșorează;
• rezultă că cel mai mare număr întreg negativ care nu aparține intervalului \({[-5, 7)}\) este -6;

Avem intervalul \({[-9, 6)}\).

• intervalul conține extremitatea stângă (pe -9) și nu conține extremitatea dreaptă (pe 6);
• reprezentăm intervalul pe axa numerelor reale:



• numerele naturale incluse în intervalul dat sunt 0, 1, 2, 3, 4 și 5;
• sunt 6 numere naturale incluse în intervalul \({[-9, 6)}\);
• numerele întregi incluse în intervalul dat sunt -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 și 5;
• sunt 15 numere întregi incluse în intervalul \({[-9, 6)}\);
• scriem în ordine descrescătoare numerele întregi din intervalul dat: 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9;
• pentru a răspunde la următoarele patru întrebări, scriem relația de ordine dintre numerele întregi incluse în intervalul dat și adăugăm și numerele întregi vecine de la stânga și de la dreapta:

\({\textcolor{Bittersweet}{-11 < -10 < } -9 < -8 < \ldots < 5 \textcolor{Bittersweet}{ < 6 < 7 < 8}}\)

• cel mai mare număr natural care aparține intervalului dat este 5; observăm că 6 nu aparține intervalului, toate celelalte numere naturale care urmează după 6 sunt mai mari decât acesta și nu aparțin intervalului. Înseamnă că 6 este cel mai mic număr natural din afara intervalului \({[-9, 6)}\);
• cel mai mic număr întreg care aparține acestui interval este -9;


• cel mai mare număr întreg negativ care nu aparține acestui interval este -10;


• calculăm suma numerelor întregi care aparțin intervalului \({[-9, 6)}\):



\({(-9) + (-8) + (-7) + (-6) +(-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3+ 4+ 5=}\)

\({= -9-8-7-6 +\cancel{(-5)} + \cancel{5} +\cancel{(-4)} +\cancel{4}+\cancel{ (-3)}+\cancel{3} + \cancel{(-2)}+\cancel{2} + \cancel{(-1)} +\cancel{1}+ 0 }\)

\({= -30 }\)

(am folosit comutativitatea adunării; putem calcula direct, dacă simțim că ne descurcăm)

Avem intervalul \({(-∞, 7]}\).

• intervalul este nemărginit la stânga; include extremitatea dreaptă (pe 7);
• reprezentăm intervalul pe axa numerelor reale:



• numerele naturale incluse în intervalul dat sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7;
• sunt 8 numere naturale incluse în intervalul \({(-∞, 7]}\);
• scriem în ordine descrescătoare numerele naturale din intervalul dat: 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0;
• sunt o infinitate de numere întregi incluse în intervalul \({(-∞, 7]}\), deoarece intervalul este nemărginit;
• sunt o infinitate de numere raționale incluse în intervalul \({(-∞, 7]}\); orice interval conține o infinitate de numere raționale, indiferent dacă este sau nu mărginit;
• cel mai mare număr rațional care aparține intervalului dat este 7; numărul 7 este număr natural, întreg, rațional și real;
• cel mai mic număr natural care nu aparține acestui interval este 8;
• să scriem 10 numere incluse în intervalul \({(-∞, 7]}\), conform condițiilor date:


• alegem exemple cât mai ușoare;
• două numere să fie întregi, dar să nu fie și naturale (este vorba de numere întregi negative): alegem -1 și -2, de exemplu;

avem \({-2 < -1}\)

• două numere să fie naturale: alegem 1 și 2, de exemplu;

avem \({1 < 2}\)

• două numere să fie fracții ordinare subunitare (adică numărătorul să fie mai mic decât numitorul): alegem \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\) și \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\), de exemplu;

avem \({\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} < \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}\)

• două numere să fie fracții zecimale neperiodice: alegem \({1{,}1}\) și \({1{,}2}\), de exemplu;

avem \({1{,}1 < 1{,}2}\)

• două numere să fie fracții zecimale periodice cuprinse între 0 și 2: alegem \({1{,}(1)}\) și \({1{,}(2)}\), de exemplu;

avem \({1{,}(1) < 1{,}(2)}\)

• scriem numerele în ordine crescătoare:

\({-2 < -1 < \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} < \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} <1 < 1{,}1 < 1{,}(1) < 1{,}2 < 1{,}(2) < 2}\)

• fracțiile ordinare subunitare sunt mai mici decât 1; fiind pozitive, sunt mai mari decât -1;
• comparăm \({1{,}1=1{,}1\textcolor{red}{0}}\) și \({1{,}(1)=1{,}1\textcolor{red}{1}1\ldots1\ldots}\); prima zecimală după virgulă este aceeași (\({1=1}\)), comparăm a doua zecimală: \({\textcolor{red}{0} < \textcolor{red}{1}}\), deci \({1{,}1 < 1{,}(1)}\).