a) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\). Pentru a calcula măsura \({x}\) a unuia dintre unghiurile patrulaterului, din \({360^{\circ}}\) scădem măsurile celor trei unghiuri pe care le cunoaștem.

\({x+120^{\circ}+70^{\circ}+80^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({x+270^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({x=360^{\circ}-270^{\circ}}\)

\({x=90^{\circ}}\)

Am obținut că \({x=90^{\circ}}\).

b) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\). Din figura geometrică observăm că două unghiuri sunt drepte; mai observăm că al treilea unghi este cu \({30^{\circ}}\) mai mare decât al patrulea unghi.

\({x+90^{\circ}+x+30^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({2x+210^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({2x=360^{\circ}-210^{\circ}}\)

\({2x=150^{\circ}}\)

\({x=\frac{\displaystyle 150^{\circ}}{\displaystyle 2}}\)

\({x=75^{\circ}}\)

Am obținut că \({x=75^{\circ}}\).

Altfel: avem două perechi de unghiuri suplementare. Prima pereche este formată din cele două unghiuri drepte. Rezultă că celelalte două unghiuri sunt și ele suplementare, adică suma lor este egală cu \({180^{\circ}}\).

\({x+x+30^{\circ}=180^{\circ}}\)

\({2x+30^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}}\)

\({2x=150^{\circ}}\)

\({x=\frac{\displaystyle 150^{\circ}}{\displaystyle 2}}\)

\({x=75^{\circ}}\)

c) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\). Din figura geometrică observăm că măsura unui unghi este de două ori mai mare decât măsura celui de-al doilea unghi, iar celelalte două măsuri le cunoaștem.

\({x+95^{\circ}+2x+70^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({3x+165^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({3x=195^{\circ}}\)

\({x=\frac{\displaystyle 195^{\circ}}{\displaystyle 3}}\)

\({x=65^{\circ}}\)

Am obținut că \({x=65^{\circ}}\).

Un unghi ascuțit are măsura mai mică decât \({90^{\circ}}\).

Un unghi drept are măsura egală cu \({90^{\circ}}\).

Un unghi obtuz are măsura mai mare de \({90^{\circ}}\).

Un patrulater convex are suma măsurilor unghiurilor sale egală cu \({360^{\circ}}\).

Fie \({ABCD}\) patrulater convex cu \({\sphericalangle A}\), \({\sphericalangle B}\) și \({\sphericalangle C}\) unghiuri ascuțite.

Presupunem că \({\sphericalangle D}\) este ascuțit sau drept. Avem:

\({\sphericalangle A < 90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle B < 90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle C < 90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle D \le 90^{\circ}}\)

Rezultă că:

\({\sphericalangle A +\sphericalangle B +\sphericalangle C +\sphericalangle D < 90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle A +\sphericalangle B +\sphericalangle C +\sphericalangle D < 360^{\circ}}\)

Am obținut o contradicție, pentru că suma măsurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\). Rezultă că presupunerea este falsă, deci \({\sphericalangle D}\) nu poate fi nici ascuțit, nici drept.

Am obținut că, dacă un patrulater convex are trei unghiuri ascuțite, atunci cel de-al patrulea unghi este obtuz.

b) Desenăm un patrulater convex care are trei unghiuri ascuțite, cu măsurile de \({85^{\circ}}\), \({75^{\circ}}\) și \({74^{\circ}}\). Cum suma măsurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\), rezultă că cel de-al patrulea unghi este obtuz, având măsura egală cu \({126^{\circ}}\).

\({360^{\circ}-85^{\circ}-75^{\circ}-74^{\circ}=126^{\circ}}\)

a) Un unghi ascuțit are măsura mai mică decât \({90^{\circ}}\).

Un unghi drept are măsura egală cu \({90^{\circ}}\).

Un unghi obtuz are măsura mai mare de \({90^{\circ}}\).

Un patrulater convex are suma măsurilor unghiurilor sale egală cu \({360^{\circ}}\).

Fie \({ABCD}\) patrulater convex cu \({\sphericalangle A}\), \({\sphericalangle B}\) și \({\sphericalangle C}\) unghiuri obtuze.

Presupunem că \({\sphericalangle D}\) este obtuz sau drept. Avem:

\({\sphericalangle A > 90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle B > 90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle C > 90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle D \ge 90^{\circ}}\)

Rezultă că:

\({\sphericalangle A +\sphericalangle B +\sphericalangle C +\sphericalangle D > 90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}}\)

\({\sphericalangle A +\sphericalangle B +\sphericalangle C +\sphericalangle D > 360^{\circ}}\)

Am obținut o contradicție, pentru că suma măsurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\). Rezultă că presupunerea este falsă, deci \({\sphericalangle D}\) nu poate fi nici obtuz, nici drept.

Am obținut că, dacă un patrulater convex are trei unghiuri obtuze, atunci cel de-al patrulea unghi este ascuțit.

b) Desenăm un patrulater convex care are trei unghiuri obtuze, cu măsurile de \({99^{\circ}}\), \({97^{\circ}}\) și \({117^{\circ}}\). Cum suma măsurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\), rezultă că cel de-al patrulea unghi este ascuțit, având măsura egală cu \({47^{\circ}}\).

\({360^{\circ}-99^{\circ}-97^{\circ}-117^{\circ}=47^{\circ}}\)

Notăm cu \({a}\), \({b}\), \({c}\) și \({d}\) măsurile unghiurilor unui patrulater convex. Acestea sunt direct proporționale cu numerele 2, 4, 5 și 7. Rezultă că:

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle d}{\displaystyle 7}}\)

Avem un șir de rapoarte egale. Rezultă că suma numărătorilor supra suma numitorilor este un raport egal cu fiecare dintre rapoartele șirului.

Ne mai amintim că suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\).

Rezultă că:

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 4}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 5}=\frac{\displaystyle d}{\displaystyle 7}=\frac{\displaystyle a+b+c+d}{\displaystyle 2+4+5+7}=\frac{\displaystyle 360^{\circ}}{\displaystyle 18}=20^{\circ}}\)

Calculăm măsurile unghiurilor patrulaterului convex:

\({\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2}=20^{\circ} \Longrightarrow a=2 \cdot 20^{\circ} =40^{\circ} }\)

\({\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 4}=20^{\circ} \Longrightarrow b=4 \cdot 20^{\circ} =80^{\circ} }\)

\({\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 5}=20^{\circ} \Longrightarrow c=5 \cdot 20^{\circ} =100^{\circ} }\)

\({\frac{\displaystyle d}{\displaystyle 7}=20^{\circ} \Longrightarrow d=7 \cdot 20^{\circ} =140^{\circ} }\)

Am obținut că măsurile unghiurilor patrulaterului convex sunt \({40^{\circ} }\), \({80^{\circ} }\), \({100^{\circ} }\) și \({140^{\circ} }\).

Verificăm dacă am lucrat corect. Suma lor trebuie să fie egală cu \({360^{\circ} }\):

\({40^{\circ} +80^{\circ}+100^{\circ}+140^{\circ}=360^{\circ} \;\;\;\; \textcolor{#32cd32}{✔}}\)

Ne amintim:

• unghiurile care au laturile în prelungire sunt opuse la vârf și sunt congruente (egale);


• unghiurile adiacente sunt două unghiuri care au vârful comun, o latură comună și interioarele nu se suprapun (interioarele sunt disjuncte);


• două unghiuri adiacente care formează un unghi alungit sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu \({180^{\circ} }\)).

Unghiurile \({DAB }\) și \({A'AA''}\) sunt opuse la vârf, deci congruente. Rezultă că:

\({\sphericalangle DAB = \sphericalangle A'AA'' =50^{\circ} }\)

Unghiurile \({ABC }\) și \({B'BC}\) sunt adiacente și suplementare, deci suma măsurilor lor este egală cu \({180^{\circ} }\). Rezultă că măsura unghiului \({ABC }\) este egală cu \({110^{\circ} }\).

\({\sphericalangle ABC + \sphericalangle B'BC =180^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABC + 70^{\circ}=180^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABC =180^{\circ}-70^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABC =110^{\circ} }\)

Unghiurile \({ADC }\) și \({D'DC}\) sunt adiacente și suplementare, deci suma măsurilor lor este egală cu \({180^{\circ} }\). Rezultă că măsura unghiului \({ADC }\) este egală cu \({115^{\circ} }\).

\({\sphericalangle ADC + \sphericalangle D'DC =180^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ADC + 65^{\circ}=180^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ADC =180^{\circ}-65^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ADC =115^{\circ} }\)

Am aflat că măsurile a trei unghiuri ale patrulaterului convex \({ABCD}\) sunt egale cu \({50^{\circ} }\), \({110^{\circ} }\) și \({115^{\circ} }\). Urmează să calculăm măsura celui de-al patrulea unghi.

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ} }\). Rezultă că:

\({\sphericalangle DAB+ \sphericalangle ABC + \sphericalangle ADC +\sphericalangle DCB=360^{\circ} }\)

\({50^{\circ}+ 110^{\circ} + 115^{\circ} +\sphericalangle DCB=360^{\circ} }\)

\({275^{\circ} +\sphericalangle DCB=360^{\circ} }\)

\({ \sphericalangle DCB=360^{\circ} -275^{\circ}}\)

\({ \sphericalangle DCB=85^{\circ}}\)

Am obținut că măsurile unghiurilor patrulaterului convex \({ABCD}\) sunt egale cu \({50^{\circ} }\), \({110^{\circ} }\), \({115^{\circ} }\) și \({85^{\circ} }\).

Deoarece \({ CE}\) este bisectoarea unghiului \({ C}\), rezultă că unghiurile \({ BCE}\) și \({ ECD}\) sunt egale cu jumătate din măsura unghiului \({ C}\), adică au măsurile egale cu \({ 55^{\circ}}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} CE \; \text{bisectoare } \; \sphericalangle C\\ \sphericalangle C = 110^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle BCE= \sphericalangle ECD = \frac{\displaystyle 110^{\circ}}{\displaystyle 2}=55^{\circ} $$

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu \({180^{\circ}}\). Rezultă că suma unghiurilor triunghiului \({BEC}\) este egală cu \({180^{\circ}}\). Putem calcula măsura unghiului \({EBC}\):

\({\sphericalangle EBC + \sphericalangle BCE + \sphericalangle BEC=180^{\circ}}\)

\({\sphericalangle EBC + 55^{\circ} + 50^{\circ}=180^{\circ}}\)

\({\sphericalangle EBC + 105^{\circ}=180^{\circ}}\)

\({\sphericalangle EBC =180^{\circ}-105^{\circ}}\)

\({\sphericalangle EBC =75^{\circ}}\)

Unghiul \({B}\) este format din unghiurile \({ABE}\) și \({EBC}\). Rezultă că putem calcula măsura unghiului \({B}\):

$$ \left. \begin{array}{ll} \sphericalangle B= \sphericalangle ABE + \sphericalangle EBC\\ \sphericalangle ABE = 40^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle B= 40^{\circ}+75^{\circ}=115^{\circ} $$

Știm că măsurile a trei unghiuri ale unui patrulater convex sunt egale cu \({115^{\circ}}\), \({110^{\circ}}\) și \({30^{\circ}}\). Mai știm că suma măsurilor tuturor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \({360^{\circ}}\). Rezultă că putem calcula măsura celui de-al patrulea unghi:

\({\sphericalangle A+ \sphericalangle B + \sphericalangle C+\sphericalangle D=360^{\circ}}\)

\({\sphericalangle A+ 115^{\circ} + 110^{\circ}+30^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({\sphericalangle A+ 255^{\circ}=360^{\circ}}\)

\({\sphericalangle A=360^{\circ}-255^{\circ}}\)

\({\sphericalangle A=105^{\circ}}\)

Am obținut că \({\sphericalangle A=105^{\circ}}\) și \({\sphericalangle B=115^{\circ}}\).