∎ Poligoane regulate

★ Poligonul regulat este este un poligon convex care are laturile congruente și unghiurile congruente (egale).

• triunghiul echilateral este poligonul regulat cu 3 laturi;
• pătratul este poligonul regulat cu 4 laturi;
• unghiurile unui poligon regulat au măsura egală cu \({\frac{\displaystyle (n-2) \cdot 180^{\circ} }{\displaystyle n}}\), unde \({n}\) este numărul laturilor poligonului regulat
• triunghiul echilateral are unghiurile de \({60^{\circ}}\)
• pătratul are unghiurile de \({90^{\circ}}\)
• pentagonul regulat are unghiurile de \({108^{\circ}}\)
• hexagonul regulat are unghiurile de \({120^{\circ}}\)
• un poligon are \({\frac{\displaystyle n(n-3)}{\displaystyle 2}}\) diagonale, unde \({n}\) este numărul laturilor poligonului.

★ Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc.

• cercul respectiv este circumscris poligonului;
• centrul cercului circumscris poligonului regulat se află la intersecția mediatoarelor laturilor poligonului;
• apotema poligonului este distanța de la centrul cercului circumscris poligonului la mijlocul laturii acestuia (apotema este perpendiculara dusă din centrul cercului circumscris pe latura poligonului); se poate nota cu \({ap}\).

★ Latura, apotema și aria poligonului regulat în funcție de raza cercului circumscris acestuia

\({n}\) - numărul laturilor poligonului regulat

\({R}\) - raza cercului circumscris poligonului regulat

\({\text{latura poligon regulat} = 2R \; \text{sin} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n}}\)

\({\text{apotema poligon regulat} = R \; \text{cos} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n}}\)

\({\text{aria poligon regulat} = \frac{\displaystyle perimetru \cdot apotema }{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{aria poligon regulat} = semiperimetru \cdot apotema}\)

\({\text{aria poligon regulat} = nR^2 \; \text{sin} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n} \;\text{cos} \;\frac{\displaystyle 180^{\circ}}{\displaystyle n}}\)

• aria triunghiului echilateral:

\({\text{Aria} = \frac{\displaystyle 3R^2\sqrt{3}}{\displaystyle 4}}\)

• aria pătratului:

\({\text{Aria} =2R^2}\)

• aria hexagonului regulat:

\({\text{Aria} = \frac{\displaystyle 3R^2\sqrt{3}}{\displaystyle 2}}\)

★ Triunghiul echilateral

N - mijlocul laturii BC

\({\text{R} = \frac{\displaystyle l\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}\)

\({\text{ap} = \frac{\displaystyle l\sqrt{3}}{\displaystyle 6}}\)

\({\text{Aria } = \frac{\displaystyle l^2 \sqrt{3}}{\displaystyle 4}}\)

★ Pătratul

P - mijlocul laturii EF

\({\text{R} = \frac{\displaystyle l\sqrt{2}}{\displaystyle 2}}\)

\({\text{ap} = \frac{\displaystyle l}{\displaystyle 2}}\)

\({\text{Aria } = l^2}\)

★ Hexagonul regulat

Q - mijlocul laturii IJ

\({\text{R} = l}\)

\({\text{ap} = \frac{\displaystyle l\sqrt{3}}{\displaystyle 2}}\)

\({\text{Aria } = \frac{\displaystyle 3\sqrt{3} \cdot l^2}{\displaystyle 2}}\)