∎ Teorema înălțimii. Teorema catetei

Cele două teoreme reprezintă relații între elementele unui triunghi dreptunghic (relațiile între catete, ipotenuză, proiecțiile catetelor pe ipotenuză). Aceste relațiile se numesc relații metrice.

★ Teorema înălțimii

• Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept este medie geometrică între segmentele determinate de ea pe ipotenuză.






Ipoteză:

\({\triangle ABC}\), \({\sphericalangle A=90^{\circ}}\)

\({AD \perp BC}\), \({D \in BC}\)

Concluzie:

\({AD^2 = BD \cdot CD}\)




Putem scrie \({AD^2 = BD \cdot CD}\) sau \({AD = \sqrt{BD \cdot CD}}\) sau \({\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle CD}=\frac{\displaystyle BD}{\displaystyle AD}}\) (AD este media geometrică a segmentelor BD și CD).



• Reciproca teoremei înălțimii: Fie triunghiul \({ABC}\) și \({AD}\) înălțime, cu \({D \in (BC) }\) (\({D}\) în interiorul segmentului \({BC}\)). Dacă \({AD^2= BD \cdot CD }\), atunci triunghiul \({ABC}\) este dreptunghic în \({A}\).

★ Teorema catetei

• Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este medie geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.






Ipoteză:

\({\triangle ABC}\), \({\sphericalangle A=90^{\circ}}\)

\({AD \perp BC}\), \({D \in BC}\)

Concluzie:

\({AB^2 = BD \cdot BC}\)

\({AC^2 = CD \cdot BC}\)




• Reciproca teoremei catetei: Fie triunghiul \({ABC}\) și \({AD}\) înălțime, cu \({D \in (BC) }\) (\({D}\) în interiorul segmentului \({BC}\)). Dacă este adevărată una dintre relațiile \({AB^2 = BD \cdot BC}\) sau \({AC^2 = CD \cdot BC}\), atunci triunghiul \({ABC}\) este dreptunghic în \({A}\).