∎ Cercul circumscris triunghiului

• centrul său este punctul de intersecție a mediatoarelor laturilor triunghiului;
• este suficient să trasăm două mediatoare pentru a stabili centrul cercului circumscris triunghiului;
• poziția centrului cercului circumscris triunghiului față de triunghi:
• este în interiorul triunghiului, dacă acesta este ascuțitunghic:



• este în exteriorul triunghiului, dacă acesta este obtuz:



• este mijlocul ipotenuzei, dacă triunghiul este dreptunghic:



• distanțele de la vârfurile triunghiului la centrul cercului circumscris sunt egale, fiind raze ale acestui cerc:

Fie triunghiul \({ABC}\) și \({O}\) centrul cercului circumscris acestuia.

Avem: \({AO=BO=CO=R}\), unde \({R}\) este raza cercului circumscris triughiului.

★ Raza cercului circumscris triunghiului oarecare:

\({R=\frac{\displaystyle abc}{\displaystyle 4A}}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt laturile triughiului și \({A}\) este aria triunghiului.

\({R=\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; A} = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; B} =\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; C} }\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt laturile triughiului.

★ Raza cercului circumscris triunghiului echilateral:

\({R=\frac{\displaystyle a\sqrt{3}}{\displaystyle 3}}\), unde \({a}\) este latura triughiului echilateral.

★ Distanțele de la centrul cercului circumscris triunghiului la laturile acestuia:

Fie:

• \({a}\), \({b}\) și \({c}\) laturile triughiului \({ABC}\);
• \({O}\) centrul cercului circumscris triughiului \({ABC}\);
• \({OD \perp BC}\), \({OE \perp AC}\) și \({OF \perp AB}\), cu \({D \in BC}\), \({E \in AC}\) și \({F \in AB}\).

\({OD=R \; \text{cos} \; A =\frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; A} \; \text{cos} \; A= \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 2} \; \text{ctg} \; A}\)

\({OE=R \; \text{cos} \; B =\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; B} \; \text{cos} \; B= \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2} \; \text{ctg} \; B}\)

\({OF=R \; \text{cos} \; C =\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2 \; \text{sin} \; C} \; \text{cos} \; C= \frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2} \; \text{ctg} \; C}\)

★ În orice triunghi \({ABC}\), centrul cercului circumscris, centrul de greutate și ortocentrul sunt puncte coliniare.

★ Fie triunghiul \({ABC}\), \({O}\) centrul cercului circumscris, \({I}\) centrul cercului înscris în triunghi, \({R}\) raza cercului circumscris și \({r}\) raza cercului înscris în triunghi. Avem:

\({OI^2=R^2-2Rr}\)