∎ Triunghiuri asemenea

• două triunghiuri se numesc asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile omoloage proporționale






• avem trei perechi de laturi omoloage: (AB, A'B'), (AC, A'C') și (BC, B'C')

în două triunghiuri, două laturi sunt omoloage dacă unghiurile opuse lor sunt congruente

• congruența triunghiurilor este un caz particular de asemănare, atunci când raportul de asemănare este egal cu 1 (\({k=1}\))


• este foarte importantă ordinea în scrierea asemănării

\({\triangle \textcolor{#db03d7}{A}\textcolor{#039adb}{B}\textcolor{#89b300}{C} ∼ \triangle \textcolor{#db03d7}{A'}\textcolor{#039adb}{B'}\textcolor{#89b300}{C'}}\) (triunghiul \({\triangle \textcolor{#db03d7}{A}\textcolor{#039adb}{B}\textcolor{#89b300}{C} }\) este asemenea cu triunghiul \({\triangle \textcolor{#db03d7}{A'}\textcolor{#039adb}{B'}\textcolor{#89b300}{C'} }\))

• unghiurile de pe prima poziție trebuie să fie egale (\({ \textcolor{#db03d7}{\sphericalangle A} \equiv \textcolor{#db03d7}{\sphericalangle A'}}\))


• unghiurile de pe a doua poziție trebuie să fie egale (\({ \textcolor{#039adb}{\sphericalangle B} \equiv \textcolor{#039adb}{\sphericalangle B'}}\))


• unghiurile de pe a treia poziție trebuie să fie egale (\({ \textcolor{#89b300}{\sphericalangle C} \equiv \textcolor{#89b300}{\sphericalangle C'}}\))



\({\triangle \textcolor{#db03d7}{A}\textcolor{#039adb}{C}\textcolor{#89b300}{B} ∼ \triangle \textcolor{#db03d7}{A'}\textcolor{#039adb}{C'}\textcolor{#89b300}{B'}}\)

\({\triangle \textcolor{#db03d7}{B}\textcolor{#039adb}{A}\textcolor{#89b300}{C} ∼ \triangle \textcolor{#db03d7}{B'}\textcolor{#039adb}{A'}\textcolor{#89b300}{C'}}\)

\({\triangle \textcolor{#db03d7}{B}\textcolor{#039adb}{C}\textcolor{#89b300}{A} ∼ \triangle \textcolor{#db03d7}{B'}\textcolor{#039adb}{C'}\textcolor{#89b300}{A'}}\)

\({\triangle \textcolor{#db03d7}{C}\textcolor{#039adb}{A}\textcolor{#89b300}{B} ∼ \triangle \textcolor{#db03d7}{C'}\textcolor{#039adb}{A'}\textcolor{#89b300}{B'}}\)

\({\triangle \textcolor{#db03d7}{C}\textcolor{#039adb}{B}\textcolor{#89b300}{A} ∼ \triangle \textcolor{#db03d7}{C'}\textcolor{#039adb}{B'}\textcolor{#89b300}{A'}}\)





\({\triangle \textcolor{#db03d7}{A}\textcolor{#039adb}{B}\textcolor{#89b300}{C} ≁ \triangle \textcolor{#039adb}{B'}\textcolor{#db03d7}{A'}\textcolor{#89b300}{C'}}\) (triunghiul \({\triangle \textcolor{#db03d7}{A}\textcolor{#039adb}{B}\textcolor{#89b300}{C} }\) nu este asemenea cu triunghiul \({\triangle \textcolor{#db03d7}{B'}\textcolor{#039adb}{A'}\textcolor{#89b300}{C'} }\))




• proprietăți:



orice triunghi este asemenea cu el însuși: \({\triangle ABC ∼ \triangle ABC}\) (reflexivitatea relației de asemănare)

dacă \({\triangle ABC ∼ \triangle A'B'C'}\), atunci \({\triangle A'B'C' ∼ \triangle ABC}\) (simetria relației de asemănare)

dacă \({\triangle ABC ∼ \triangle A'B'C'}\) și \({\triangle A'B'C' ∼ \triangle A''B''C''}\), atunci \({\triangle ABC ∼ \triangle A''B''C''}\) (tranzitivitatea relației de asemănare)

★ Teorema fundamentală a asemănării

• o paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi sau cu prelungirile lor un triunghi asemenea cu triunghiul dat.


• fie \({\triangle ABC}\) și \({DE \parallel BC}\), \({D \in AB}\) și \({E \in AC}\)


• rezultă că \({\triangle ABC ∼ \triangle ADE}\)






• fie \({\triangle ABC}\) și \({DE \parallel BC}\), \({D}\), respectiv \({E}\) pe prelungirile laturilor \({AB}\), respectiv \({AC}\)


• rezultă că \({\triangle ABC ∼ \triangle ADE}\)