∎ Patrulatere inscriptibile

★ Un patrulater se numește patrulater inscriptibil dacă vârfurile sale aparțin cercului (este patrulater înscris în cerc).

★ Orice patrulater inscriptibil este convex.

★ Pătratul, dreptunghiul, trapezul isoscel sunt patrulatere inscriptibile.

★ Orice patrulater inscriptibil are unghiurile opuse suplementare.

Dacă \({ABCD}\) este patrulater inscriptibil, atunci:

\({m(\sphericalangle ABC)+ m(\sphericalangle ADC)=180^{\circ}}\)

\({m(\sphericalangle BAD)+ m(\sphericalangle BCD)=180^{\circ}}\)

• reciproc: dacă un patrulater convex are unghiurile opuse suplementare, atunci el este inscriptibil.

Dacă \({m(\sphericalangle ABC)+ m(\sphericalangle ADC)=180^{\circ}}\) și \({m(\sphericalangle BAD)+ m(\sphericalangle BCD)=180^{\circ}}\), atunci \({ABCD}\) este patrulater inscriptibil

★ Dacă un patrulater este inscriptibil, atunci diagonalele sale formează unghiuri congruente cu laturile opuse.

• reciproc: dacă într-un patrulater convex diagonalele formează unghiuri congruente cu laturile opuse, atunci el este inscriptibil.

★ Dacă un patrulater este inscriptibil, atunci orice unghi interior este egal cu unghiul exterior opus.

• reciproc: dacă într-un patrulater convex un unghi interior este egal cu unghiul exterior opus, atunci el este inscriptibil.

★ Teorema lui Ptolemeu

Dacă un patrulater este inscriptibil, atunci produsul diagonalelor sale este egal cu suma produselor laturilor opuse.

Dacă \({ABCD}\) este patrulater inscriptibil, atunci \({AC \cdot BD= AB \cdot CD+AD \cdot BC}\).

Reciproc: dacă într-un patrulater convex produsul diagonalelor sale este egal cu suma produselor laturilor opuse, atunci el este inscriptibil.

Dacă \({ABCD}\) este patrulater convex și \({AC \cdot BD= AB \cdot CD+AD \cdot BC}\), atunci el este inscriptibil.