∎ Proiecții ortogonale

★ Proiecția unui punct pe o dreaptă

• dintr-un punct putem duce o singură perpendiculară pe o dreaptă.
• proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct pe dreapta respectivă.
• Fie \({A}\) un punct și \({d}\) o dreaptă. Din \({A}\) ducem perpendiculara pe dreapta \({d}\). Această perpendiculară întâlnește dreapta \({d}\) într-un punct pe care-l notăm cu \({A'}\).
• Punctul \({A'}\) se numește piciorul perpendicularei duse din \({A}\) pe dreapta \({d}\).


• Punctul \({A'}\) este proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\).


• Scriem \({pr_{\displaystyle d}A=A'}\) și citim „proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\) este punctul \({A'}\) ”.


• Dacă \({AA' \perp d}\) și \({A' \in d}\), atunci \({A'=pr_{\displaystyle d}A}\).




Punctul \({A'}\) este proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\).




\({pr_{\displaystyle d}A = A'}\)

★ Proiecția unui segment pe o dreaptă este proiecția tuturor punctelor de pe segment pe acea dreaptă.

• Cum determinăm proiecția unui segment pe o dreaptă: proiectăm capetele segmentului pe dreaptă. Segmentul determinat de aceste proiecții este segmentul căutat.
• Fie \({AB}\) un segment și \({d}\) o dreaptă care nu include segmentul \({AB}\).
• Fie \({A'}\) proiecția punctului \({A}\) pe dreapta \({d}\) și \({B'}\) proiecția punctului \({B}\) pe dreapta \({d}\).



\({pr_{\displaystyle d}A = A'}\) și \({pr_{\displaystyle d}B = B'}\)



• dacă segmentul \({AB}\) este perpendicular pe dreapta \({d}\), atunci proiecția lui pe dreaptă este un punct (punctele \({A'}\) și \({B'}\) coincid).


Dacă \({AB \perp d}\) și \({AB \cap d= \{ A' \}}\), atunci punctul \({A'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

\({pr_{\displaystyle d}AB = A'}\)



• dacă segmentul \({AB}\) este paralel cu dreapta \({d}\), atunci proiecția lui pe dreaptă este segmentul \({A'B'}\) (și \({AB=A'B'}\)).


Dacă \({AB \parallel d}\), atunci segmentul \({A'B'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

\({pr_{\displaystyle d}AB = A'B'}\)

\({AB = A'B'}\)







• dacă segmentul \({AB}\) este oblic față de dreapta \({d}\), atunci proiecția lui pe dreaptă este segmentul \({A'B'}\) (și \({A'B' < AB}\)).


Segmentul \({A'B'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

\({pr_{\displaystyle d}AB = A'B'}\)

\({A'B' < AB}\)

• dacă \({A \in d}\), atunci proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\) este segmentul \({AB'}\) (și \({AB' < AB}\)).


Dacă \({A \in d}\), atunci segmentul \({AB'}\) este proiecția segmentului \({AB}\) pe dreapta \({d}\).

\({pr_{\displaystyle d}AB = AB'}\)

\({AB' < AB}\)

★ Proiecția unei figuri geometrice pe o dreaptă este un segment ale cărui capete sunt proiecțiile extremităților figurii geometrice pe dreapta respectivă.

• proiecția unui triunghi pe o dreaptă:





• proiecția unui pătrat pe o dreaptă (\({AD}\), \({BC}\) și \({d}\) sunt paralele):





• proiecția unui cerc pe o dreaptă (\({AB}\) este diametru paralel cu dreapta \({d}\)):





• proiecția unui hexagon pe o dreaptă: