∎ Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit

Vom exprima mărimea unui unghi nu printr-un număr de grade, ci prin raportul unor lungimi.

Fie triunghiul dreptunghic \({\triangle ABC}\) cu \({\sphericalangle A=90^{\circ}}\). Măsurile unghiurilor ascuțite pot fi exprimate prin rapoarte ale laturilor acestui triunghi.

Avem următoarele rapoarte: sinus, cosinus, tangenta și cotangenta. Acestea sunt funcții trigonometrice , iar scrierea lor prescurtată este: sin, cos, tg și ctg.

• Scriem \({\text{sin} \; α}\) și citim „sinus de alfa”;


• Scriem \({\text{cos} \; α}\) și citim „cosinus de alfa”;


• Scriem \({\text{tg} \; α}\) și citim „tangentă de alfa”;


• Scriem \({\text{ctg} \; α}\) și citim „cotangentă de alfa”;

• ★ sinusul unghiului este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea ipotenuzei;



\({\text{sinus} \longrightarrow \frac{\displaystyle cateta \; opusă}{\displaystyle ipotenuză}}\)

\({\text{sin} \; B = \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle BC} = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}}\)

\({\text{sin} \; C = \frac{\displaystyle AB}{\displaystyle BC} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle a}}\)

• sinusul unui unghi ascuțit este un număr pozitiv subunitar, pentru că lungimea catetei este mai mică decât lungimea ipotenuzei


• ★ cosinusul unghiului este raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea ipotenuzei;



\({\text{cosinus} \longrightarrow \frac{\displaystyle cateta \; alăturată}{\displaystyle ipotenuză}}\)

\({\text{cos} \; B = \frac{\displaystyle AB}{\displaystyle BC} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle a}}\)

\({\text{cos} \; C = \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle BC} = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}}\)

• cosinusul unui unghi ascuțit este un număr pozitiv subunitar, pentru că lungimea catetei este mai mică decât lungimea ipotenuzei


• ★ tangenta unghiului este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate;



\({\text{tangenta} \longrightarrow \frac{\displaystyle cateta \; opusă}{\displaystyle cateta \; alăturată}}\)

\({\text{tg} \; B = \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle AB} = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c}}\)

\({\text{tg} \; C = \frac{\displaystyle AB}{\displaystyle AC} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle b}}\)

• tangenta unui unghi ascuțit poate lua orice valoare pozitivă


• ★ cotangenta unghiului este raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse.



\({\text{cotangenta} \longrightarrow \frac{\displaystyle cateta \; alăturată}{\displaystyle cateta \; opusă}}\)

\({\text{ctg} \; B = \frac{\displaystyle AB}{\displaystyle AC} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle b}}\)

\({\text{ctg} \; C = \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle AB} = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c}}\)

• cotangenta unui unghi ascuțit poate lua orice valoare pozitivă

Aceste rapoarte sunt constante pentru toate triunghiurile dreptunghice care au un unghi ascuțit cu măsura de \({α^{\circ} }\), indiferent de lungimile laturilor. De exemplu, avem două triunghiuri dreptunghice care au câte un unghi de \({30^{\circ} }\). Deși lungimile laturilor sunt diferite, sinusul unghiului de \({30^{\circ} }\) are aceeași valoare pentru ambele triunghiuri. La fel este și pentru celelalte funcții trigonometrice.

🖉 Funcțiile trigonometrice ale unui unghi ascuțit sunt egale cu cofuncțiile trigonometrice ale unghiului complementar.

Unghiurile \({\sphericalangle B}\) și \({\sphericalangle C}\) sunt complementare. Triunghiul \({\triangle ABC}\) este dreptunghic și \({\sphericalangle A=90^{\circ}}\), rezultă că \({\sphericalangle B + \sphericalangle C=90^{\circ}}\). Obținem \({\sphericalangle B = 90^{\circ}- \sphericalangle C}\).

• \({\text{sin} \; B = \text{sin} \; (90^{\circ}-C)=\text{cos} \; C}\)


• sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său


• \({\text{cos} \; B=\text{cos} \; (90^{\circ}-C)=\text{sin} \; C}\)


• cosinusul unui unghi este egal cu sinusul complementului său


• \({\text{tg} \; B=\text{tg} \; (90^{\circ}-C)=\text{ctg} \; C}\)


• tangenta unui unghi este egală cu cotangenta complementului său


• \({\text{ctg} \; B=\text{ctg} \; (90^{\circ}-C)=\text{tg} \; C}\)


• cotangenta unui unghi este egală cu tangenta complementului său

🖉 Formule utile

Fie \({α}\) măsura unui unghi ascuțit.

★ \({\text{sin}^2 \; α + \text{cos}^2 \; α= 1}\) (formula fundamentală a trigonometriei)

★ \({\text{tg} \; α =\frac{\displaystyle \text{sin} \; α }{\displaystyle \text{cos} \; α }}\)

★ \({\text{ctg} \; α =\frac{\displaystyle \text{cos} \; α }{\displaystyle \text{sin} \; α }=\frac{\displaystyle 1 }{\displaystyle \text{tg} \; α }}\)

🖉 Valori utile ale funcțiilor trigonometrice