a) Privim desenul.

• Avem rombul \({ABCD }\).


• Lungimea laturii \({BC }\) este egală cu \({7 \; cm }\).


• Avem de calculat lungimea laturii \({AD}\).

Într-un romb, toate laturile sunt congruente (egale), deci \({AD=BC=7 \;cm }\).

Rezultă că \({ x=7 \;cm}\).

Scriem:

\({ ABCD \;romb \Longrightarrow AD=BC=7 \;cm \Longrightarrow x=7 \;cm}\)

b) Privim desenul.

• Avem rombul \({NPQR }\).


• Sunt desenate ambele diagonale \({NQ }\) și \({PR }\).


• Știm că lungimea lui \({OQ}\) este egală cu \({2 \;cm}\) (am numit cu \({O}\) intersecția diagonalelor).


• Avem de calculat lungimea lui \({ON}\).

Într-un romb, diagonalele se înjumătățesc, adică punctul lor de intersecție este mijlocul fiecărei diagonale. Fie \({NQ \cap PR= \{O \} }\). Rezultă că \({O }\) este mijlocul diagonalei \({NQ}\), deci \({NO=OQ=2 \; cm}\)

Rezultă că \({ x=2 \;cm}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} NPQR \; romb \\ NQ \cap PR= \{O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow O \; mijlocul \; lui \; NO \Longrightarrow NO=OQ=2\; cm \Longrightarrow x=2\; cm $$

c) Privim desenul.

• Avem rombul \({EFGH }\).


• Sunt desenate ambele diagonale \({EG }\) și \({FH }\).


• Știm că lungimea diagonalei \({FH}\) este egală cu \({6 \;cm}\).


• Avem de calculat lungimea lui \({FO}\) (am numit cu \({O}\) intersecția diagonalelor).

Într-un romb, diagonalele se înjumătățesc, adică punctul lor de intersecție este mijlocul fiecărei diagonale. Fie \({FH \cap EG= \{O \} }\). Rezultă că \({O }\) este mijlocul diagonalei \({FH}\), deci \({FO= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}FH=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot 6=3 \; cm}\).

Rezultă că \({ x=3\;cm}\).

Scriem:

$$ \left. \begin{array}{ll} EFGH \; romb \\ FH \cap EG= \{O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow O \; mijlocul \; lui \; FH \Longrightarrow FO= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}FH $$

\({ FO= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}FH=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot 6=3 \; cm \Longrightarrow x=3\;cm}\).

d) Privim desenul.

• Avem rombul \({MNPQ }\).


• Sunt desenate ambele diagonale \({MP }\) și \({NQ }\).


• Știm că lungimea laturii \({MN}\) este egală cu \({9 \;cm}\).


• Știm că măsura unghiului \({MNO}\) este egală cu \({30^{\circ}}\) (am numit cu \({O}\) intersecția diagonalelor).


• Avem de calculat lungimea lui \({MO}\).

Într-un romb, diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare. Deoarece \({MNPQ }\) este romb, rezultă că \({MP }\) și \({PQ}\) sunt perpendiculare.

$$ \left. \begin{array}{ll} MNPQ \; romb \\ MP, NQ \; diagonale \end{array} \right \} \Longrightarrow MP \perp NQ $$

Fie \({ \{O \} =MP \cap NQ }\). Rezultă că \({NO }\) și \({MO }\) sunt perpendiculare. Înseamnă că triunghiul \({MON }\) este dreptunghic în \({O }\).

$$ \left. \begin{array}{ll} MNPQ \; romb \\ MP \perp NQ \\ MP \cap NQ= \{O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow MO \perp NO \Longrightarrow \triangle MON \; dreptunghic \; in \; O $$

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unui unghi de \({ 30^{\circ} }\) este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Avem triunghiul \({MON }\) dreptunghic în \({O }\). Unghiul \({ MNO }\) este de \({ 30^{\circ} }\). Rezultă că lungimea catetei \({ MO }\) este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei \({ MN }\). Obținem că \({MO }\) are lungimea egală cu \({ 4{,}5 \; cm }\).

Rezultă că \({ x=4{,}5 \; cm }\).

$$ \left. \begin{array}{ll} \sphericalangle MNO = 30^{\circ} \\ \triangle MON \; dreptunghic \; in \; O \end{array} \right \} \Longrightarrow MO =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot MN $$

\({ MO =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot 9=4{,}5 \; cm }\)

\({ MO=x=4{,}5 \; cm }\)

e) Privim desenul.

• Avem rombul \({BCDE }\).


• Sunt desenate ambele diagonale \({EC }\) și \({BD }\).


• Știm că lungimea lui \({BO}\) este egală cu \({4 \;cm}\) (am numit cu \({O}\) intersecția diagonalelor).


• Știm că măsura unghiului \({OED}\) este egală cu \({30^{\circ}}\).


• Avem de calculat lungimea laturii \({BE}\).

Într-un romb, diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare. Deoarece \({BCDE }\) este romb, rezultă că \({EC }\) și \({BD}\) sunt perpendiculare.

$$ \left. \begin{array}{ll} BCDE \; romb \\ BD, EC \; diagonale \end{array} \right \} \Longrightarrow BD \perp EC $$

Fie \({ \{O \} =EC \cap BD }\). Rezultă că \({EO }\) și \({DO }\) sunt perpendiculare. Înseamnă că triunghiul \({EOD }\) este dreptunghic în \({O }\).

Cum \({O }\) este mijlocul lui \({ BD}\), rezultă că \({ BO=OD=4 \; cm}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} BCDE \; romb \\ EC \cap BD= \{O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow O \; mijlocul \; lui \; BD \; și \; EO \perp DO $$

\({ O \; mijlocul \; lui \; BD \Longrightarrow BO=OD=4 \; cm }\)

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unui unghi de \({ 30^{\circ} }\) este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Avem triunghiul \({EOD }\) dreptunghic în \({O }\). Unghiul \({ OED }\) este de \({ 30^{\circ} }\). Rezultă că lungimea catetei \({ DO }\) este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei \({ ED }\). Adică \({ ED }\) are lungimea de două ori mai mare decât \({ OD }\).

\({ EO \perp DO \Longrightarrow \triangle EOD \; dreptunghic \; in \; O }\)

$$ \left. \begin{array}{ll} \sphericalangle OED = 30^{\circ} \\ \triangle EOD \; dreptunghic \; in \; O \end{array} \right \} \Longrightarrow OD =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot ED $$

\({ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot ED=4 \; cm }\)

\({ ED=2 \cdot 4 \; cm=8 \; cm }\)

\({BCDE \; romb \Longrightarrow BE=ED= x=8\; cm }\)

Rombul are toate laturile egale, deci \({x=BE=ED=8 \; cm }\).

Privim desenul.

• Avem rombul \({ABCD }\).
• Sunt desenate ambele diagonale \({BD }\) și \({AC }\).
• Știm că măsura unghiului \({BAC }\) este egală cu \({30^{\circ} }\).
• Știm că lungimea laturii \({AD }\) este egală cu \({6 \;cm }\).
• Avem de calculat mai întâi măsurile unghiurilor rombului.

a) Într-un romb:

• diagonalele se înjumătățesc;
• diagonalele sunt perpendiculare;
• diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului.

Rombul are unghiurile opuse congruente (egale) două câte două. Rezultă că unghiurile \({BAD}\) și \({BCD}\) sunt congruente (egale); la fel, unghiurile \({ABC }\) și \({ADC }\) sunt congruente (egale).

Diagonala \({BD }\) este bisectoarea unghiurilor congruente \({ABC }\) și \({ADC}\). Rezultă că unghiurile \({ABD }\), \({DBC}\), \({ADB }\) și \({BDC}\) sunt congruente (egale) și au măsurile egale cu jumătate din măsura unghiului \({ABC }\).

Diagonala \({AC }\) este bisectoarea unghiurilor congruente \({BAD }\) și \({BCD }\). Rezultă că unghiurile \({BAC }\), \({CAD}\), \({BCA }\) și \({ACD}\) sunt congruente (egale) și au măsurile egale cu jumătate din măsura unghiului \({BAD }\).

\({ABCD \; romb \; rezulta \; ca: }\)

• \({\sphericalangle BAD \equiv \sphericalangle BCD }\)
• \({\sphericalangle ABC \equiv \sphericalangle ADC }\)
• \({BD \; bisectoarea \; \sphericalangle ABC \; si \; \sphericalangle ADC }\)
• \({AC \; bisectoarea \; \sphericalangle BAD \; si \; \sphericalangle BCD }\)

$$ \left. \begin{array}{ll} AC \; bisectoarea \; \sphericalangle BAD \; si \; \sphericalangle BCD \\ \sphericalangle BAD \equiv \sphericalangle BCD \\ \sphericalangle BAC=30^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle BAC=\sphericalangle CAD= \sphericalangle BCA=\sphericalangle ACD=30^{\circ} $$

Unghiul \({BAD }\) este egal cu suma unghiurilor \({BAC }\) și \({CAD }\), deci este egal cu \({60^{\circ} }\) (\({30^{\circ} }\) plus \({30^{\circ} }\)). Rezultă că și unghiul \({BCD }\) este de \({60^{\circ} }\).

\({\sphericalangle BAD=\sphericalangle BAC + \sphericalangle CAD=30^{\circ} + 30^{\circ}=60^{\circ} }\)

\({\sphericalangle BAD=\sphericalangle BCD \Longrightarrow \sphericalangle BAD=\sphericalangle BCD=60^{\circ} }\)

Într-un romb, unghiurile alăturate sunt suplementare, adică au suma măsurilor egală cu \({180^{\circ} }\). Rezultă că suma măsurilor unghiurilor \({BAD }\) și \({ABC }\) este egală cu \({180^{\circ} }\). Obținem că măsura unghiului \({ABC }\) este egală cu \({120^{\circ} }\). Unghiurile \({ABC }\) și \({ADC }\) sunt congruente (egale), deci și măsura lui \({ADC }\) este egală cu \({120^{\circ} }\).

\({ABCD \; romb \Longrightarrow \sphericalangle BAD+\sphericalangle ABC=180^{\circ} }\)

\({60^{\circ}+\sphericalangle ABC=180^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABC=180^{\circ} -60^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABC=120^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADC=120^{\circ} }\)

Am obținut că măsurile unghiurilor rombului \({ABCD}\) sunt \({\sphericalangle BAD=\sphericalangle BCD=60^{\circ} }\) și \({\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADC=120^{\circ} }\).

b) Rombul are toate laturile congruente (egale). Rezultă că triunghiurile \({BAD }\), \({BCD}\), \({ABC }\) și \({ADC}\) sunt isoscele; bazele lor sunt diagonalele \({BD }\), respectiv \({AC }\).

Triunghiurile isoscele \({BAD }\), \({BCD}\) sunt echilaterale, pentru că au câte un unghi de \({60^{\circ} }\).

\({ABCD \; romb \; \Longrightarrow AB \equiv BC \equiv CD \equiv AD }\)

\({AD \equiv DC \Longrightarrow \triangle ADC \; isoscel}\)

\({AB \equiv BC \Longrightarrow \triangle ABC \; isoscel}\)

$$ \left. \begin{array}{ll} AB \equiv AD \Longrightarrow \triangle BAD \; isoscel \\ \sphericalangle BAD =60^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow \triangle BAD \; echilateral $$

$$ \left. \begin{array}{ll} BC \equiv CD \Longrightarrow \triangle BCD \; isoscel \\ \sphericalangle BCD =60^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow \triangle BCD \; echilateral $$

c) Calculăm lungimile diagonalelor rombului \({ABCD }\).

Am demonstrat că triunghiul \({BAD }\) este echilateral, deci are toate laturile congruente (egale). Rezultă că \({AB=BD=AD=6 \;cm }\). Am obținut că lungimea diagonalei \({BD }\) este egală cu \({6 \;cm }\).

\({\triangle BAD \; echilateral \; \Longrightarrow AB=BD=AD= 6 \;cm}\)

Calculăm lungimea diagonalei \({AC }\).

Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, adică punctul de intersecție al lor (în care se întâlnesc) este mijlocul fiecăreia dintre ele. Fie \({O }\) punctul de intersecție al diagonalelor rombului. Rezultă că \({O }\) este mijlocul lui \({BD }\) și \({AC }\).

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; romb \\ AC \cap BD = \{ O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow AO \perp BO \; si \; O \; mijlocul \; lui \; AC \; si \; BD $$

\({O \; mijlocul \; lui \;BD \; \Longrightarrow BO=DO=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}BD=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot 6 \;cm=3 \;cm}\)

\({O \; mijlocul \; lui \;AC \; \Longrightarrow AO=CO=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}AC}\)

Deoarece \({AO }\) este jumătate din \({AC }\), dacă reușim să calculăm lungimea lui \({AO }\), atunci vom putea calcula și lungimea lui \({AC }\).

Deoarece diagonalele \({AC }\) și \({BD }\) sunt perpendiculare, rezultă că triunghiul \({AOB }\) este dreptunghic în \({O}\). Știm lungimile ipotenuzei \({AB}\) și catetei \({OB}\). Aplicăm teorema lui Pitagora și calculăm lungimea catetei \({AO}\). Diagonala \({AC}\) are lungimea de două ori mai mare decât \({AO}\), deci o vom putea calcula.

$$ \left. \begin{array}{ll} AO \perp BO \Longrightarrow \triangle AOB \; dreptunghic \; in \;O \\ AB=6 \;cm \\ OB=3 \;cm \end{array} \right \} \overset{T. \; Pitagora}\Longrightarrow AO^2=AB^2-OB^2 $$

\({AO^2=6^2-3^2}\)

\({AO^2=36-9}\)

\({AO^2=27}\)

\({AO=\sqrt{27}\;cm }\)

\({AO=\sqrt{3^3}\;cm }\)

\({AO=3\sqrt{3}\;cm }\)

\({AO=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}AC }\)

\({AC=2 \cdot AO }\)

\({AC=2 \cdot 3\sqrt{3}\;cm }\)

\({AC=6\sqrt{3}\;cm }\)

Am obținut că diagonalele rombului \({ABCD }\) au lungimile egale cu \({6\;cm }\) și \({6\sqrt{3}\;cm }\).

Privim desenul.

• Avem rombul \({MNPQ }\).
• Avem desenată diagonala \({MP }\), cu lungimea de \({10 \;cm }\).
• Știm că măsura unghiului \({MPQ }\) este egală cu \({30^{\circ} }\). Acest unghi este format de diagonala \({MP }\) și latura \({QP }\) a rombului.
• Avem de calculat lungimile laturilor rombului.

Unghiul cu măsura de \({30^{\circ} }\) ar fi foarte folositor dacă ar fi conținut într-un triunghi dreptunghic, pentru că ne amintim că într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de \({30^{\circ} }\) este egală cu jumătate din ipotenuză.

Avem un triunghi dreptunghic care să conțină unghiul \({MPQ }\) de \({30^{\circ} }\)?

Nu avem un astfel de triunghi, dar îl putem construi. Ne amintim că diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Avem desenată diagonala \({MP }\). Desenăm și diagonala \({NQ }\). Acestea sunt perpendiculare, deci formează unghiuri drepte.

Fie \({O }\) punctul în care diagonalele se intersectează. Rezultă că \({O }\) este mijlocul lui \({MP }\) și \({NQ }\); de asemenea, \({OQ }\) este perpendicular pe \({OP }\).

$$ \left. \begin{array}{ll} MNPQ \; romb \\ MP \cap NQ= \{O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow O\; mijlocul\; lui\; MP \; si \; NQ \; si \; MP \perp NQ $$

Deoarece \({O }\) este mijlocul lui \({MP }\), rezultă că \({OP }\) este egală cu \({5 \; cm }\)

\({O\; mijlocul\; lui\; MP \Longrightarrow MO=OP=\frac{ \displaystyle 1}{ \displaystyle 2}MP=\frac{ \displaystyle 1}{ \displaystyle 2} \cdot 10 = 5\; cm}\)

Deoarece \({OQ }\) este perpendicular pe \({OP }\), rezultă că triunghiul \({QOP }\) este dreptunghic în \({O }\); el conține unghiul \({MPQ }\) de \({30^{\circ} }\). Rezultă că lungimea catetei \({OQ }\) este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei \({QP }\).

Altfel spus, lungimea lui \({QP }\) este de două ori mai mare decât lungimea lui \({OQ }\).

Notăm cu \({x }\) lungimea lui \({OQ }\).

$$ \left. \begin{array}{ll} MP \perp NQ \\ MP \cap NQ= \{O \} \end{array} \right \} \Longrightarrow OQ \perp OP \Longrightarrow \triangle QOP \; dreptunghic \; in \; O $$

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle QOP \; dreptunghic \; in \; O \\ \sphericalangle MPQ = 30^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow OQ = \frac{ \displaystyle 1}{ \displaystyle 2}QP \Longrightarrow QP=2OQ $$

\({OQ \overset{not.}=x \Longrightarrow QP=2x}\)

Să vedem ce am descoperit până acum:

• triunghiul \({QOP }\) dreptunghic în \({O }\);


• \({OP=5 \; cm }\);


• \({OQ =x}\);


• \({QP =2x}\).

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \({QOP }\) și-l aflăm pe \({OQ =x}\). Apoi îl vom calcula pe \({QP =2x}\).

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle QOP \; dreptunghic \; in \; O \\ OQ=x\\ QP=2x\\ OP=5 \;cm \end{array} \right \} \overset{T. \;Pitagora}\Longrightarrow QP^2=OQ^2+OP^2 $$

\({(2x)^2=x^2+5^2}\)

\({4x^2=x^2+25}\)

\({4x^2-x^2=25}\)

\({3x^2=25}\)

\({x^2=\frac{ \displaystyle 25}{ \displaystyle 3}}\)

\({x=\sqrt{\frac{ \displaystyle 25}{ \displaystyle 3}}}\)

Vom considera doar valoarea pozitivă a lui \({x}\), pentru că lungimea este un număr pozitiv.

\({x=\frac{ \displaystyle \sqrt{25}}{ \displaystyle \sqrt{3}}}\)

Raționalizăm numitorul:

\({x=\frac{ \displaystyle 5\sqrt{3}}{ \displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{ \displaystyle 5\sqrt{3}}{ \displaystyle 3}}\)

Am obținut că \({x=OQ=\frac{ \displaystyle 5\sqrt{3}}{ \displaystyle 3} \; cm}\)

Rezultă că \({QP=2OQ=2 \cdot \frac{ \displaystyle 5\sqrt{3}}{ \displaystyle 3}= \frac{ \displaystyle 10\sqrt{3}}{ \displaystyle 3}\; cm}\).

Laturile rombului sunt congruente (egale), deci \({MN=NP=PQ=QM= \frac{ \displaystyle 10\sqrt{3}}{ \displaystyle 3}\; cm}\).