∎ Paralelogramul
Exersează! - 1
1. Calculați lungimile laturilor și măsurile unghiurilor pentru fiecare dintre paralelogramele de mai jos, folosind informațiile date pentru fiecare figură geometrică:
Ne amintim:
- într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale);
- într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu \({180^{\circ} }\));
- într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele și congruente (egale);
- unghiurile formate în jurul unui punct au suma măsurilor egală cu \({360^{\circ} }\);
- paralelogramul este un patrulater convex; rezultă că suma măsurilor sale este egală cu \({360^{\circ} }\).
a) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare ; rezultă că \({\sphericalangle B = \sphericalangle D }\), \({\sphericalangle A = \sphericalangle C }\) și \({\sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\).
Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle B = \sphericalangle D=43^{\circ}, \sphericalangle A = \sphericalangle C \; și \; \sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\)
\({43^{\circ} + \sphericalangle C=180^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle C=180^{\circ} -43^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle C=137^{\circ} }\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului \({ABCD}\) sunt egale cu:
\({\sphericalangle A = \sphericalangle C=137^{\circ} }\)
\({\sphericalangle B = \sphericalangle D=43^{\circ} }\)
Calculăm lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\). Știm că laturile opuse sunt paralele și congruente (egale). Rezultă că \({AB=CD}\) și \({BC=AD}\). Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow AB=CD=5 \; cm \;și \; BC=AD=1,7 \cdot AB }\)
\({BC=AD=1,7 \cdot 5 =8{,} 5 \; cm}\)
Am obținut că lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\) sunt egale cu:
\({AB=CD=5 \; cm }\)
\({BC=AD=8{,} 5 \; cm}\)
b) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare ; rezultă că \({\sphericalangle B = \sphericalangle D }\), \({\sphericalangle A = \sphericalangle C }\) și \({\sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\).
Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle B = \sphericalangle D, \sphericalangle A = \sphericalangle C =75^{\circ} \; și \; \sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle B+75^{\circ} =180^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle B=180^{\circ} -75^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle B=105^{\circ} }\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului \({ABCD}\) sunt egale cu:
\({\sphericalangle A = \sphericalangle C=75^{\circ} }\)
\({\sphericalangle B = \sphericalangle D=105^{\circ} }\)
Calculăm lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\). Știm că laturile opuse sunt paralele și congruente (egale). Rezultă că \({AB=CD}\) și \({BC=AD}\). Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow AB=CD=6 \; cm \;și \; BC=AD=CD+1{,} 5 \; cm }\)
\({BC=AD=6+1{,} 5}\)
\({BC=AD=7{,} 5 \; cm}\)
Am obținut că lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\) sunt egale cu:
\({AB=CD=6 \; cm }\)
\({BC=AD=7{,} 5 \; cm}\)
c) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare ; rezultă că \({\sphericalangle ABC = \sphericalangle D }\), \({\sphericalangle A = \sphericalangle C }\) și \({\sphericalangle A + \sphericalangle ABC=180^{\circ} }\).
În problema noastră, știm că măsura unghiului \({B }\) exterior paralelogramului este egală cu \({205^{\circ} }\). Rezultă că măsura unghiului \({ABC }\) din interiorul paralelogramului este egală cu \({360^{\circ}- 205^{\circ}=155^{\circ} }\).
Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle ABC = \sphericalangle D, \sphericalangle A = \sphericalangle C \; și \; \sphericalangle A + \sphericalangle ABC=180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle ABC = 360^{\circ} -205^{\circ} }\)
\({\sphericalangle ABC=155^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle A +\sphericalangle ABC=180^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle A +155^{\circ} =180^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle A=180^{\circ}-155^{\circ} }\)
\({ \sphericalangle A=25^{\circ} }\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului \({ABCD}\) sunt egale cu:
\({\sphericalangle A = \sphericalangle C=25^{\circ} }\)
\({\sphericalangle ABC = \sphericalangle D=155^{\circ} }\)
Calculăm lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\). Știm că laturile opuse sunt paralele și congruente (egale). Rezultă că \({AB=CD}\) și \({BC=AD}\). Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow AB=CD \;și \; BC=AD=15 \; cm }\)
\({AB=AD \Longrightarrow AB=CD=AD=BC=10 \; cm}\)
Am obținut că lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\) sunt egale cu \({10 \; cm}\).
d) Calculăm mai întâi lungimile laturilor paralelogramului \({ABCD}\). Paralelogramul are laturile opuse congruente (egale), deci \({AB=CD}\) și \({AD=BC}\).
Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow AB=CD, AD=BC}\)
În paralelogramul nostru, avem \({\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2}}\). Rezultă că \({AD=AB}\). Înseamnă că laturile paralelogramului nostru sunt egale.
Scriem:
\({\frac{\displaystyle AD}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle 2} \Longrightarrow AD=AB \Longrightarrow AB=CD=AD=BC=8{,}5 \; cm }\)
Calculăm măsurile unghiurilor paralelogramului. Știm relația dintre două unghiuri alăturate: măsura unghiului \({C}\) este de trei ori mai mare decât măsura unghiului \({B}\).
Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare, adică suma măsurilor lor este egală cu \({180^{\circ}}\). Înseamnă că vom putea calcula valoarea lui \({x}\).
Scriem:
\({ABCD \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle B = \sphericalangle D, \sphericalangle A = \sphericalangle C \; și \; \sphericalangle B + \sphericalangle C=180^{\circ} }\)
\({x+3x=180^{\circ} }\)
\({4x=180^{\circ} }\)
\({x=180^{\circ} :4=45^{\circ} }\)
Rezultă că \({\sphericalangle B=45^{\circ} =\sphericalangle D}\).
\({\sphericalangle C= 3 \cdot 45^{\circ} =135^{\circ}=\sphericalangle A}\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului sunt:
\({\sphericalangle A= \sphericalangle C =135^{\circ}}\)
\({\sphericalangle B= \sphericalangle D =45^{\circ}}\)
2. Calculați măsurile unghiurilor pentru fiecare dintre paralelogramele de mai jos, folosind informațiile date:
Ne amintim:
- într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale);
- într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu \({180^{\circ} }\));
- unghiurile formate în jurul unui punct au suma măsurilor egală cu \({360^{\circ} }\);
- paralelogramul este un patrulater convex; rezultă că suma măsurilor sale este egală cu \({360^{\circ} }\).
a) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare ; rezultă că \({\sphericalangle M = \sphericalangle P }\), \({\sphericalangle N = \sphericalangle Q }\) și \({\sphericalangle M + \sphericalangle N=180^{\circ} }\).
Scriem:
\({MNPQ \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle M = \sphericalangle P, \sphericalangle N = \sphericalangle Q \; și \; \sphericalangle M + \sphericalangle N=180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle N = \sphericalangle Q \Longrightarrow x^{\circ}+14^{\circ}=2x^{\circ}-99^{\circ} }\)
Grupăm termenii: într-un membru să avem termenii care conțin necunoscuta, în celălalt membru - termenii liberi. Trecerea dintr-un membru în celălalt se face schimbând semnul, plus devine minus și minus devine plus.
\({2x^{\circ}-x^{\circ}=14^{\circ}+99^{\circ} }\)
\({x^{\circ}=113^{\circ}}\)
Calculăm măsura unghiului \({N}\):
\({\sphericalangle N = \sphericalangle Q=x^{\circ}+14^{\circ}=113^{\circ}+14^{\circ}=127^{\circ}}\)
Unghiurile \({M}\) și \({N}\) sunt suplementare, deci suma măsurilor lor este egală cu \({180^{\circ} }\). Calculăm măsura unghiului \({M}\):
\({\sphericalangle M + \sphericalangle N=180^{\circ}}\)
\({\sphericalangle M + 127^{\circ}=180^{\circ}}\)
\({\sphericalangle M =180^{\circ}-127^{\circ}}\)
\({\sphericalangle M =53^{\circ}=\sphericalangle P}\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului \({MNPQ}\) sunt:
\({\sphericalangle N = \sphericalangle Q=127^{\circ}}\)
\({\sphericalangle M =\sphericalangle P=53^{\circ}}\)
b) Suma măsurilor unghiurilor din jurul unui punct este egală cu \({360^{\circ} }\). Rezultă că măsura unghiului \({NPQ }\) din interiorul paralelogramului este egală cu \({360^{\circ}-8{,}2x^{\circ} }\).
Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu \({180^{\circ} }\)).
Scriem:
\({MNPQ \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle M = \sphericalangle NPQ, \sphericalangle N = \sphericalangle Q \; și \; \sphericalangle M + \sphericalangle N=180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle N +\sphericalangle NPQ= 180^{\circ} }\)
\({\sphericalangle N =x^{\circ} }\)
\({\sphericalangle NPQ =360^{\circ}-8{,}2x^{\circ} }\)
\({x^{\circ} +360^{\circ}-8{,}2x^{\circ}= 180^{\circ} }\)
\({360^{\circ}-180^{\circ}= 8{,}2x^{\circ}- x^{\circ}}\)
\({180^{\circ}=7{,}2x^{\circ}}\)
\({x^{\circ}=180^{\circ} : 7{,}2}\)
\({x^{\circ}=25^{\circ}}\)
Am obținut că \({\sphericalangle N = \sphericalangle Q=25^{\circ}}\).
Unghiurile \({N}\) și \({NPQ}\) ale paralelogramului sunt alăturate, deci sunt suplementare (suma măsurilor lor este egală cu \({180^{\circ} }\)). Rezultă că:
\({\sphericalangle NPQ =180^{\circ}-25^{\circ} }\)
\({\sphericalangle NPQ =155^{\circ} }\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului \({MNPQ}\) sunt:
\({\sphericalangle N = \sphericalangle Q=25^{\circ}}\)
\({\sphericalangle M =\sphericalangle P=155^{\circ}}\)
c) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu \({180^{\circ} }\)).
Știm că suma măsurilor a două unghiuri opuse (egale) este de \({166^{\circ} }\)). Putem calcula măsura fiecăruia dintre ele.
Scriem:
\({MNPQ \; paralelogram \; \Longrightarrow \sphericalangle M = \sphericalangle P, \sphericalangle N = \sphericalangle Q \; și \; \sphericalangle M + \sphericalangle N=180^{\circ} }\)
$$ \left. \begin{array}{ll} \sphericalangle M +\sphericalangle P= 166^{\circ} \\ \sphericalangle M=\sphericalangle P \end{array} \right \} \Longrightarrow 2 \cdot \sphericalangle M=166^{\circ} $$
\({\sphericalangle M =166^{\circ} :2 }\)
\({\sphericalangle M=83^{\circ} }\)
Unghiurile \({\sphericalangle M }\) și \({\sphericalangle N }\) ale paralelogramului sunt alăturate, deci suplementare. Suma lor este egală cu \({180^{\circ} }\).
\({\sphericalangle M + \sphericalangle N=180^{\circ}}\)
\({83^{\circ} + \sphericalangle N=180^{\circ}}\)
\({ \sphericalangle N=180^{\circ}-83^{\circ}}\)
\({ \sphericalangle N=97^{\circ}}\)
Am obținut că măsurile unghiurilor paralelogramului \({MNPQ}\) sunt:
\({\sphericalangle M =\sphericalangle P=83^{\circ}}\)
\({\sphericalangle N = \sphericalangle Q=97^{\circ}}\)
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️