Privim desenul și-l analizăm.

• Avem triunghiul \({ABC }\).


• Pe latura \({AB }\) avem punctul \({M }\).


• Segmentele \({AM}\) și \({MB}\) sunt decorate în același fel (o liniuță), deci sunt congruente (egale). Rezultă că punctul \({M}\) este mijlocul segmentului \({AB}\).


• Pe latura \({AC }\) avem punctul \({P }\).


• Segmentele \({AP}\) și \({PC}\) sunt decorate în același fel (două liniuțe), deci sunt congruente (egale). Rezultă că punctul \({P}\) este mijlocul segmentului \({AC}\).


• Deoarece \({M }\) este mijlocul laturii \({AB }\) și \({P }\) este mijlocul laturii \({AC }\), rezultă că \({MP }\) este linie milocie în triunghiul \({ABC }\).


• Rezultă că \({MP}\) este paralel cu \({BC}\) și are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii \({BC}\). Înseamnă că \({MP}\), \({BN}\) și \({NC}\) sunt congruente (egale), unde \({N}\) este mijlocul lui \({BC}\).






• Pe latura \({BC }\) avem punctul \({N }\).


• Segmentele \({BN}\) și \({NC}\) sunt decorate în același fel (trei liniuțe), deci sunt congruente (egale). Rezultă că punctul \({N}\) este mijlocul segmentului \({BC}\).


• Deoarece \({M }\) este mijlocul laturii \({AB }\) și \({N }\) este mijlocul laturii \({BC }\), rezultă că \({MN }\) este linie milocie în triunghiul \({ABC }\).


• Rezultă că \({MN}\) este paralel cu \({AC}\) și are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii \({AC}\). Înseamnă că \({MN}\), \({AP}\) și \({PC}\) sunt congruente (egale).







• Deoarece \({N }\) este mijlocul laturii \({BC }\) și \({P }\) este mijlocul laturii \({AC }\), rezultă că \({NP }\) este linie milocie în triunghiul \({ABC }\).


• Rezultă că \({NP}\) este paralel cu \({AB}\) și are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii \({AB}\). Înseamnă că \({NP}\), \({AM}\) și \({MB}\) sunt congruente (egale).

Acum putem completa casetele.

a) Punctul \({M }\) este mijlocul laturii AB.

b) Punctul N este mijlocul laturii \({BC }\).

c) Punctul \({P }\) este mijlocul laturii AC.

d) \({MP \parallel }\) BC

sau \({MP \parallel }\) BN

sau \({MP \parallel }\) NC

e) \({NP \parallel }\) AB

sau \({NP \parallel }\) AM

sau \({NP \parallel }\) BM

f) AC \({ \parallel MN }\)

sau AP \({ \parallel MN }\)

sau PC \({ \parallel MN }\)

g) 0,5 \({ \cdot AB=NP}\)

h) \({ BC \; \cdot \; }\)0,5 \({ =MP}\)

i) Lungimea segmentului \({MN}\) este egală cu jumătate din lungimea segmentului AC.

j) Segmentele \({MN}\), \({MP}\) și NP sunt linii mijlocii în triunghiul \({ABC}\).

k) \({ MN \equiv A }\)P \({ \equiv }\) PC

l) MP \({ \equiv BN \equiv NC}\)

m) \({ N}\) P \({ \equiv }\) AM \({ \equiv BM}\)

Deoarece \({M }\) și \({N }\) sunt mijloacele laturilor \({AB }\) și \({AC }\), rezultă că \({MN }\) este linie mijlocie în triunghiul \({ABC }\).

Înseamnă că lungimea lui \({MN }\) este egală cu jumătate din lungimea laturii \({BC }\).

Altfel spus, lungimea lui \({BC }\) este de două ori mai mare decât lungimea lui \({MN }\).

\({BC =2 \cdot MN }\)

a) \({ x=}\) 14 cm

\({ MN=}\) 11 cm

Privim desenul și-l analizăm.

• Avem triunghiul \({ABC }\).


• Lungimea lui \({MN }\) este egală cu \({(x-3) \; cm }\), iar lungimea laturii \({BC }\) este egală cu \({22 \; cm }\)


• Trebuie să-l calculăm pe \({x }\), apoi pe \({MN}\).

Deoarece \({MN }\) este linie mijlocie în triunghiul \({ABC }\) și \({BC= 22 \; cm }\), rezultă că \({MN= 11 \; cm }\) (22 împărțit la 2).

$$ \left. \begin{array}{ll} M \; mijlocul \; lui \; AB \\ N \; mijlocul \; lui \; AC \end{array} \right \} \Longrightarrow MN \; linie\; mijlocie \; in\; \triangle ABC \Longrightarrow MN=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2} $$

$$ \left. \begin{array}{ll} BC=22 \; cm\\ MN=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2} \end{array} \right \} \Longrightarrow MN=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2}=\frac{\displaystyle 22}{\displaystyle 2}=11 \; cm $$

Îl calculăm pe \({x }\). Știm că \({MN=(x-3 ) \; cm }\) și \({MN= 11 \; cm }\).

\({x-3=11 }\)

\({x=14 \; cm }\)

Completăm casetele. Am obținut că \({x=14 \; cm }\) și \({MN=11 \; cm }\).

b) \({ x=}\) 8,25 cm

\({ BC=}\) 30 cm

Privim desenul și-l analizăm.

• Avem triunghiul \({ABC }\).


• Lungimea lui \({MN }\) este egală cu \({15 \; cm }\), iar lungimea laturii \({BC }\) este egală cu \({(4x-3) \; cm }\)


• Trebuie să-l calculăm pe \({x }\), apoi pe \({BC}\).

Deoarece \({MN }\) este linie mijlocie în triunghiul \({ABC }\) și \({MN= 15 \; cm }\), rezultă că \({BC= 30 \; cm }\) (15 înmulțit cu 2).

$$ \left. \begin{array}{ll} M \; mijlocul \; lui \; AB \\ N \; mijlocul \; lui \; AC \end{array} \right \} \Longrightarrow MN \; linie\; mijlocie \; in\; \triangle ABC \Longrightarrow MN=\frac{\displaystyle BC}{\displaystyle 2} \Longrightarrow MN=2BC $$

\({MN= 15 \; cm }\)

\({BC=2MN }\)

\({BC= 2 \cdot 15 = 30 \; cm }\)

Îl calculăm pe \({x }\).

\({4x-3=30 }\)

\({4x=33 }\)

\({x=\frac{\displaystyle 33}{\displaystyle 4}=8{,}25 \;cm}\)

Am obținut că \({x=\frac{\displaystyle 33}{\displaystyle 4}=8{,}25 \;cm}\) și \({BC= 2 \cdot 15 = 30 \; cm }\). Completăm casetele.

c) \({ x=}\) 3 cm

\({ MN=}\) 7 cm

\({ BC=}\) 14 cm

Privim desenul și-l analizăm.

• Avem triunghiul \({ABC }\).


• Lungimile lui \({MN }\) și \({BC }\) sunt exprimate în funcție de \({x }\)


• Știm că \({MN }\) este linie mijlocie în triunghi, deci are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii \({BC }\).


• Altfel spus, \({BC=2MN }\).

Avem:

\({MN=2x+1}\)

\({BC=8x-10}\)

Deoarece \({BC =2MN}\), rezultă că:

\({8x-10 =2(2x+1)}\)

Rezolvăm ecuația și-l aflăm pe \({x}\):

\({8x-10 =4x+2}\)

Grupăm termenii, astfel: într-o parte a egalului vrem să avem doar termenii care conțin necunoscuta \({x}\), iar în cealaltă parte a egalului vrem să avem doar termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: plus devine minus, iar minus devine plus.

\({8x-4x =10+2}\)

\({4x =12}\)

\({x=3}\)

Calculăm lungimea liniei mijlocii \({MN}\):

\({MN=2x+1=2 \cdot 3+1=7 \;cm}\)

Calculăm lungimea laturii \({BC}\):

\({BC=8x-10=8 \cdot 3-10=14 \;cm}\)

sau \({BC=2MN=2 \cdot 7=14 \;cm}\)

Am obținut \({x=3 \;cm}\), \({MN=7 \;cm}\) și \({BC=14 \;cm}\). Completăm casetele.