a) Ne amintim că un dreptunghi are toate unghiurile drepte. Altfel spus, măsurile unghiurilor unui dreptunghi sunt egale cu \({90^{\circ} }\).

Rezultă că avem de rezolvat ecuația:

\({ 3x-6=90 }\)

Grupăm termenii, astfel: într-o parte a egalului vrem să avem termenii care conțin necunoscuta \({ x }\), iar în cealaltă parte vrem să avem termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: minus devine plus și plus devine minus.

\({ 3x=90+6 }\)

\({ 3x=96 }\)

\({ x=96 : 3 }\)

\({ x=32 }\)

Am obținut că \({ x=32 }\).

b) Ne amintim că într-un dreptunghi laturile opuse sunt congruente (egale).

Rezultă că avem de rezolvat ecuația:

\({ 2x+1=4x}\)

Grupăm termenii, astfel: într-o parte a egalului vrem să avem termenii care conțin necunoscuta \({ x }\), iar în cealaltă parte vrem să avem termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: minus devine plus și plus devine minus.

\({ 4x-2x=1 }\)

\({ 2x=1 }\)

\({ x=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} }\)

Am obținut că \({ x=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} }\).

c) Ne amintim că într-un dreptunghi laturile opuse sunt congruente (egale).

Rezultă că avem de rezolvat ecuația:

\({ 2x+5=3x-4}\)

Grupăm termenii, astfel: într-o parte a egalului vrem să avem termenii care conțin necunoscuta \({ x }\), iar în cealaltă parte vrem să avem termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: minus devine plus și plus devine minus.

\({ 3x-2x=5+4 }\)

\({ x=9 }\)

Am obținut că \({ x=9 }\).

Ne amintim că diagonalele dreptunghiului sunt congruente (egale) și se înjumătățesc (punctul în care se intersectează este mijlocul lor).

a) Diagonalele \({AC }\) și \({BD }\) ale dreptunghiului \({ABCD }\) sunt egale, deci și jumătățile lor sunt egale.

Rezultă că avem de rezolvat ecuația:

\({ x+2=8{,}6}\)

Grupăm termenii, astfel: într-o parte a egalului vrem să avem termenii care conțin necunoscuta \({ x }\), iar în cealaltă parte vrem să avem termenii liberi. Trecerea dintr-o parte în alta a egalului se face schimbând semnul: minus devine plus și plus devine minus.

\({ x=8{,}6-2 }\)

\({ x=6{,}6 }\)

Am obținut că \({ x=6{,}6 }\).

b) Diagonalele dreptunghiului sunt egale, deci \({AC=BD=x }\). Tot din desen observăm că jumătate din diagonala \({AC}\) este egală cu \({ x=7{,}2 \; cm }\). Rezultă că jumătate din \({ x }\) este egal cu \({ 7{,}2 \; cm }\).

Rezultă că:

\({ x=2 \cdot 7{,}2}\)

\({ x=14{,}4 \; cm}\)

Am obținut că \({ x=14{,}4 \; cm }\).

Mai întâi, ne gândim care sunt triunghiurile speciale ale căror măsuri de unghiuri le cunoaștem?

• triunghiul echilateral - are toate unghiurile de \({60^{\circ} }\);


• triunghiul dreptunghic isoscel - are unghiurile de \({90^{\circ} }\), \({45^{\circ} }\) și \({45^{\circ} }\);


• triunghiul dreptunghic cu unghiurile de \({90^{\circ} }\), \({60^{\circ} }\) și \({30^{\circ} }\).



Cateta opusă unghiului de \({30^{\circ} }\) este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul opus catetei respective este de \({30^{\circ} }\).

a) \({\sphericalangle DBC = }\) 30\({^{\circ} }\)

Triunghiul \({BCD }\) este dreptunghic în \({C }\). Ipotenuza este diagonala \({BD=5 }\) a dreptunghiului; mai știm lungimea catetei \({CD=2{,}5 }\).

Observăm că \({2{,}5 }\) este jumătate din \({5 }\); adică lungimea catetei \({CD }\) este jumătate din lungimea ipotenuzei \({BD}\). Rezultă că unghiul opus catetei \({CD }\) este de \({30^{\circ} }\).

Am obținut că \({\sphericalangle DBC=30^{\circ} }\).

Scriem folosind simboluri matematice:

\({ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow \sphericalangle BCD=90^{\circ} \Longrightarrow \triangle BCD \; dreptunghic \; în \;C }\)

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle BCD \; dreptunghic \; în \;C \\ BD=5 \; ipotenuza \\ CD=2{,}5=\frac{\displaystyle BD}{\displaystyle 2} \; cateta \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle DBC=30^{\circ} $$

b) \({\sphericalangle ADB = }\) 30\({^{\circ} }\)

Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt paralele. Rezultă că laturile \({AD }\) și \({BC }\) sunt paralele; \({BD}\) este secantă. Înseamnă că unghiurile \({ADB }\) și \({DBC }\) sunt congruente (egale), deci \({\sphericalangle ADB = 30^{\circ}}\) (unghiuri alterne interne).

Scriem folosind simboluri matematice:

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow AD \parallel BC\\ BD \; secanta \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle ADB=\sphericalangle DBC=30^{\circ} $$

c) \({\sphericalangle ABD = }\) 60\({^{\circ} }\)

Unghiurile \({ABD }\) și \({DBC }\) sunt complementare, adică suma măsurilor lor este egală cu \({90^{\circ}}\) (ele formează unghiul \({ABC}\) al dreptunghiului).

Știm că \({\sphericalangle DBC=30^{\circ} }\); rezultă că \({\sphericalangle ABD=60^{\circ} }\).

Scriem folosind simboluri matematice:

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow \sphericalangle ABC = 90^{\circ}\\ \sphericalangle ABC =\sphericalangle DBC + \sphericalangle ABD \\ \sphericalangle DBC = 30^{\circ} \end{array} \right \} \Longrightarrow 90^{\circ} = 30^{\circ} + \sphericalangle ABD $$

\({\sphericalangle ABD=90^{\circ} -30^{\circ} }\)

\({\sphericalangle ABD=60^{\circ} }\)

d) \({\sphericalangle BDC= }\) 60\({^{\circ} }\)

Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt paralele. Rezultă că laturile \({AB }\) și \({CD }\) sunt paralele; \({BD}\) este secantă. Înseamnă că unghiurile \({ABD }\) și \({BDC }\) sunt congruente (egale), deci \({\sphericalangle BDC=60^{\circ}}\) (unghiuri alterne interne).

Scriem folosind simboluri matematice:

$$ \left. \begin{array}{ll} ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow AB \parallel CD\\ BD \; secanta \end{array} \right \} \Longrightarrow \sphericalangle ABD=\sphericalangle BDC=60^{\circ} $$

e) \({BC^2= }\) 18,75

\({BC }\) este latură a dreptunghiului \({ABCD }\) și catetă în triunghiul \({BCD}\) dreptunghic în \({C }\). În acest triunghi, știm lungimea ipotenuzei \({BD }\) și a catetei \({CD}\). Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a calcula pătratul lungimii catetei \({BC}\).

\({ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow \sphericalangle BCD=90^{\circ} \Longrightarrow \triangle BCD \; dreptunghic \; în \;C }\)

$$ \left. \begin{array}{ll} \triangle BCD \; dreptunghic \; în \;C \\ BD=5 \; ipotenuza \\ CD=2{,}5=\frac{\displaystyle BD}{\displaystyle 2} \; cateta \end{array} \right \} \overset{T. \; Pitagora}\Longrightarrow BC^2=BD^2-CD^2 $$

\({ BC^2=5^2-(2{,}5)^2 }\)

\({ BC^2=25-6{,}25 }\)

\({ BC^2=18{,}75 }\)

f) \({AB= }\) 2,5

Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt congruente (egale), deci \({AB=CD=2{,}5}\).

\({ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow AB=CD=2{,}5 }\)

g) \({AD^2= }\) 18,75

Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt congruente (egale), deci și pătratele lungimilor lor sunt egale, adică \({BC^2=AD^2=18{,}75}\).

\({ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow BC^2=AD^2=18{,}75 }\)

h) \({AC= }\) 5

Într-un dreptunghi, diagonalele sunt congruente (egale), deci \({BD=AC=5}\).

\({ABCD \; dreptunghi \; \Longrightarrow BD=AC=5}\)