a) Desenăm un triunghi cu laturile \({AB=3{,}5 \; cm}\), \({BC=5 \; cm}\) și \({ AC=4{,}2 \; cm}\). Etape:

• Începem cu latura \({BC=5 \; cm}\), de exemplu. Desenăm un segment cu lungimea egală cu \({5 \; cm}\) și notăm cu \({B}\) și \({C}\) capetele acestuia.





• Pentru a desena celelalte două laturi, vom desena două cercuri cu centrele în \({B}\), respectiv \({C}\) și cu razele egale cu \({3{,}5 \; cm}\), respectiv \({4{,}2 \; cm}\).
• Desenăm un cerc cu centrul în \({B}\) și cu raza egală cu \({3{,}5 \; cm}\). Una dintre razele acestui cerc este latura \({AB}\) a triunghiului. Este suficient să desenăm doar o porțiune din acest cerc (un arc de cerc).





• Desenăm un cerc cu centrul în \({C}\) și cu raza egală cu \({4{,}2 \; cm}\). Una dintre razele acestui cerc este latura \({AC}\) a triunghiului. Este suficient să desenăm doar o porțiune din acest cerc (un arc de cerc).
• Punctul în care se intersectează cele două cercuri este vârful \({A}\) al triunghiului.





• Unim punctul \({A}\) cu punctele \({B}\) și \({C}\). Am obținut triunghiul \({ABC}\).

b) Pentru a desena mediana corespunzătoare laturii \({AB}\), îi stabilim mai întâi mijlocul. Lungimea laturii este de \({3{,}5 \; cm}\), deci jumătate din aceasta înseamnă aproximativ \({1{,}75 \; cm}\). Marcăm mijlocul laturii \({AB}\). Notăm acest punct cu \({D}\). Unim punctele \({C}\) și \({D}\) și obținem mediana \({CD}\) corespunzătoare laturii \({AB}\).

Pentru a desena mediana corespunzătoare laturii \({AC}\), îi stabilim mai întâi mijlocul. Lungimea laturii este de \({4{,}2 \; cm}\), deci jumătate din aceasta înseamnă \({2{,}1 \; cm}\). Marcăm mijlocul laturii \({AC}\). Notăm acest punct cu \({E}\). Unim punctele \({B}\) și \({E}\) și obținem mediana \({BE}\) corespunzătoare laturii \({AC}\).

c) Centrul de greutate al unui triunghi este punctul în care se intersectează medianele triunghiului. Un triunghi are 3 mediane. Pentru a stabili centrul de greutate al triunghiului este suficient să desenăm două mediane ale acestuia.

În cazul nostru, punctul în care se intersectează medianele \({CD}\) și \({BE}\) este centrul de greutate al triunghiului. Îl notăm cu litera \({G}\).

d) Deoarece \({G}\) este centrul de greutate al triunghiului, rezultă că:

• punctul \({G}\) este în interiorul triunghiului \({ABC}\);


• cea de-a treia mediană trece prin acest punct;


• punctul \({G}\) se află pe fiecare mediană la o treime de baza triunghiului și două treimi de vârful triunghiului;


• \({BG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}BE}\) și \({GE=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}BE}\)

sau \({BG=2GE}\)

sau \({BE=3GE}\)



• \({CG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}CD}\) și \({GD=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}CD}\)

sau \({CG=2GD}\)

sau \({CD=3GD}\)

a) Dacă \({ AP = 9 \;cm}\), atunci \({ AG = }\) 6\({cm}\) și \({ GP = }\) 3\({cm}\).

Deoarece \({P}\) este mijlocul laturii \({BC}\), rezultă că \({ AP}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ AP }\), la două treimi de vârful \({A}\) și la o treime de latura \({BC}\).

• \({AG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AP=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{9}^3=6 \;cm}\)
• \({GP=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}AP=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{9}^3=3 \;cm}\)

b) Dacă \({ BQ=3 \;cm}\), atunci \({ BG = }\) 2\({cm}\) și \({ GQ = }\) 1\({cm}\).

Deoarece \({Q}\) este mijlocul laturii \({AC}\), rezultă că \({ BQ}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ BQ }\), la două treimi de vârful \({B}\) și la o treime de latura \({AC}\).

• \({BG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}BQ=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{3}=2 \;cm}\)
• \({GQ=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}BQ=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{3}=1 \;cm}\)

c) Dacă \({ CR=21 \;cm}\), atunci \({ CG = }\) 14\({cm}\) și \({ GR = }\) 7\({cm}\).

Deoarece \({R}\) este mijlocul laturii \({AB}\), rezultă că \({ CR}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ CR }\), la două treimi de vârful \({C}\) și la o treime de latura \({AB}\).

• \({CG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}CR=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{21}^7=14 \;cm}\)
• \({GR=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}CR=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{21}^7=7 \;cm}\)

a) Dacă \({ AG = 7 \;cm}\), atunci \({ AP = }\) 10,5\({cm}\) și \({ GP = }\) 3,5\({cm}\).

Deoarece \({P}\) este mijlocul laturii \({BC}\), rezultă că \({ AP}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ AP }\), la două treimi de vârful \({A}\) și la o treime de latura \({BC}\).

• \({AG=2GP}\)

\({7=2GP \Longrightarrow GP=\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}=3{,}5 \;cm}\)

• \({AP=3GP=3 \cdot 3{,}5 =10 {,}5 \;cm}\)

b) Dacă \({ BG=5 \;cm}\), atunci \({ BQ = }\) 7,5\({cm}\) și \({ GQ = }\) 2,5\({cm}\).

Deoarece \({Q}\) este mijlocul laturii \({AC}\), rezultă că \({ BQ}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ BQ }\), la două treimi de vârful \({B}\) și la o treime de latura \({AC}\).

• \({BG=2GQ}\)

\({5=2GQ \Longrightarrow GQ=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}=2{,}5 \;cm}\)

• \({BQ=3GQ=3 \cdot 2{,}5 =7 {,}5 \;cm}\)

c) Dacă \({ CG=11 \;cm}\), atunci \({ CR = }\) 16,5\({cm}\) și \({ GR = }\) 5,5\({cm}\).

Deoarece \({R}\) este mijlocul laturii \({AB}\), rezultă că \({ CR}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ CR }\), la două treimi de vârful \({C}\) și la o treime de latura \({AB}\).

• \({CG=2GR}\)

\({11=2GR \Longrightarrow GR=\frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 2}=5{,}5 \;cm}\)

• \({CR=3GR=3 \cdot 5{,}5 =16 {,}5 \;cm}\)

a) Dacă \({ GP=4 \;cm}\), atunci \({ AG = }\) 8\({cm}\) și \({ AP = }\) 12\({cm}\).

Deoarece \({P}\) este mijlocul laturii \({BC}\), rezultă că \({ AP}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ AP }\), la două treimi de vârful \({A}\) și la o treime de latura \({BC}\).

• \({AG=2GP \Longrightarrow AG = 2 \cdot 4=8 \;cm}\)
• \({AP=3GP \Longrightarrow AP = 3 \cdot 4=12 \;cm}\)

b) Dacă \({ GQ=8 \;cm}\), atunci \({ BG = }\) 16\({cm}\) și \({ BQ = }\) 24\({cm}\).

Deoarece \({Q}\) este mijlocul laturii \({AC}\), rezultă că \({ BQ}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ BQ }\), la două treimi de vârful \({B}\) și la o treime de latura \({AC}\).

• \({BG=2GQ \Longrightarrow BG = 2 \cdot 8=16 \;cm}\)
• \({BQ=3GQ \Longrightarrow BQ = 3 \cdot 8=24 \;cm}\)

c) Dacă \({ GR=5 \;cm}\), atunci \({ CG = }\) 10\({cm}\) și \({ CR = }\) 15\({cm}\).

Deoarece \({R}\) este mijlocul laturii \({AB}\), rezultă că \({ CR}\) este mediană în triunghiul dat. Centrul de greutate \({G}\) al triunghiului se află pe mediana \({ CR }\), la două treimi de vârful \({C}\) și la o treime de latura \({AB}\).

• \({CG=2GR \Longrightarrow CG = 2 \cdot 5=10 \;cm}\)
• \({CR=3GR \Longrightarrow CR = 3 \cdot 5=15 \;cm}\)

Punctul în care medianele unui triunghi se intersectează (se întâlnesc) se numește centrul de greutate al triunghiului. Rezultă că punctul \({G}\) din problema noastră este centrul de greutate al triunghiului.

Centrul de greutate al triunghiului se află pe fiecare mediană a triunghiului, la două treimi față de vârful corespunzător și la o treime față de latura corespunzătoare.

Pentru mediana \({AE}\) și centrul de greutate \({G}\) din problema noastră, avem următoarele relații:

• \({AG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AE}\) și \({GE=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}AE}\)

sau \({AG=2GE}\)

sau \({AE=3GE}\)

Pentru mediana \({BF}\) și centrul de greutate \({G}\) din problema noastră, avem următoarele relații:

• \({BG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}BF}\) și \({GF=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}BF}\)

sau \({BG=2GF}\)

sau \({BF=3GF}\)

Pentru mediana \({CD}\) și centrul de greutate \({G}\) din problema noastră, avem următoarele relații:

• \({CG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}CD}\) și \({GD=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}CD}\)

sau \({CG=2GD}\)

sau \({CD=3GD}\)

a) \({ AG = 6 \;cm}\) și \({ GE=3\;cm}\) A

Lungimea segmentului \({ GE}\) trebuie să fie egală cu jumătate din lungimea segmentului \({AG}\). Cum 3 este jumătate din 6, rezultă că afirmația este adevărată.

\({ AG=2GE}\)

\({ 6=2 \cdot 3 \; \; \; adevărat}\)

b) \({ BF = 9 \;cm}\) și \({ BG=5\;cm}\) F

Lungimea segmentului \({ BG}\) trebuie să fie egală cu două treimi din lungimea segmentului \({BF}\). Cum 5 nu înseamnă două treimi din 9, rezultă că afirmația este falsă.

\({ BG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}BF}\)

\({ 5=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{9}^3=6 \; \; \; fals}\)

c) \({ DG = 1{,}5 \;cm}\) și \({ CD=4{,}5\;cm}\) A

Lungimea segmentului \({ DG}\) trebuie să fie egală cu o treime din lungimea segmentului \({ CD}\). Cum \({1{,}5 \;cm}\) înseamnă o treime din \({ 4{,}5 \;cm}\), rezultă că afirmația este adevărată.

\({ DG=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}CD}\)

\({1{,}5=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \cdot 4{,}5=6 \; \; \; adevărat}\)

d) \({AE = 12 \;cm}\) și \({ AG=9\;cm}\) F

Lungimea segmentului \({ AG}\) trebuie să fie egală cu două treimi din lungimea segmentului \({AE}\). Cum \({ 9}\) nu înseamnă două treimi din \({ 12}\), rezultă că afirmația este falsă.

\({ AG=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}AE}\)

\({ 9=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle \cancel{3}} \cdot \cancel{12}^4=8 \; \; \; fals}\)