a) Descompunem în factori primi numărul \({ 625}\).

\({\sqrt{ 625}=\sqrt{5^4}=\sqrt{ \smash[b] (5^2)^2}=5^2=25}\)

Am obținut că \({25}\) este rădăcina pătrată a numărului \({625}\).

b) Descompunem în factori primi numărul \({ 1024}\).

\({\sqrt{ 1024}=\sqrt{2^{ 10}}=\sqrt{ \smash[b] (2^5)^2}=2^5=32}\)

Am obținut că rădăcina pătrată a numărului \({1024}\) este \({32}\).

b) Descompunem în factori primi numărul \({ 784}\).

\({\sqrt{ 784}=\sqrt{2^4 \cdot 7^2}=\sqrt{ (2^2)^2 \cdot 7^2}=\sqrt{ (2^2 \cdot 7)^2}=\sqrt{ (4 \cdot 7)^2}=\sqrt{28^2}=28}\)

Am obținut că \({28}\) este rădăcina pătrată a numărului \({784}\).

Numerele întregi sunt de forma \({\dotsc, -2, -1, 0, 1, 2, \dotsc}\). Vrem să le găsim pe cele ale căror pătrat este egal cu \({ 625}\).

Vom găsi două astfel de numere. Unul va fi număr natural (rădăcina pătrată a numărului dat, iar celălalt va fi număr negativ (punem semnul minus în fața rădăcinii pătrate).

a) Calculăm mai întâi rădăcina pătrată a lui \({ 625}\) și vom găsi numărul natural al cărui pătrat este egal cu \({ 625}\).

Descompunem în factori primi numărul \({ 625}\).

\({\sqrt{ 625}=\sqrt{5^4}=\sqrt{ \smash[b] (5^2)^2}=5^2=25}\)

Am obținut că \({25^2=625}\), deci \({25}\) este unul dintre numerele întregi al căror pătrat este \({625}\).

Avem:

\({(-25)^2 =(-1)^2 \cdot 25^2 = 25^2=625}\)

Rezultă că numărul \({-25}\) este celălalt număr întreg al cărui pătrat este \({625}\).

Am obținut că numerele întregi care au pătratul egal cu \({625}\) sunt \({25}\) și \({-25}\).

b) Calculăm mai întâi rădăcina pătrată a lui \({ 1024}\) și vom găsi numărul natural al cărui pătrat este egal cu \({ 1024}\).

Descompunem în factori primi numărul \({ 1024}\).

\({\sqrt{ 1024}=\sqrt{2^{ 10}}=\sqrt{ \smash[b] (2^5)^2}=2^5=32}\)

Am obținut că \({32^2=1024}\), deci \({32}\) este unul dintre numerele întregi al căror pătrat este \({1024}\).

Avem:

\({(-32)^2 =(-1)^2 \cdot 32^2 = 32^2=1024}\)

Rezultă că numărul \({-32}\) este celălalt număr întreg al cărui pătrat este \({1024}\).

Am obținut că numerele întregi care au pătratul egal cu \({1024}\) sunt \({32}\) și \({-32}\).

c) Calculăm mai întâi rădăcina pătrată a lui \({ 784}\) și vom găsi numărul natural al cărui pătrat este egal cu \({ 784}\).

Descompunem în factori primi numărul \({ 784}\).

\({\sqrt{ 784}=\sqrt{2^4 \cdot 7^2}=\sqrt{ (2^2)^2 \cdot 7^2}=\sqrt{ (2^2 \cdot 7)^2}=\sqrt{28^2}=28}\)

Am obținut că \({28^2=784}\), deci \({28}\) este unul dintre numerele întregi al căror pătrat este \({784}\).

Avem:

\({(-28)^2 =(-1)^2 \cdot 28^2 = 28^2=784}\)

Rezultă că numărul \({-28}\) este celălalt număr întreg al cărui pătrat este \({784}\).

Am obținut că numerele întregi care au pătratul egal cu \({784}\) sunt \({28}\) și \({-28}\).

Observăm că, pentru numerele naturale care sunt pătrate perfecte, există două numere întregi care ridicate la puterea a doua ne dau numărul respectiv. Doar numărul întreg pozitiv este rădăcină pătrată.

Reținem că rădăcina pătrată este un număr pozitiv (mai mare decât 0).

De exemplu, \({(-25)^2=25^2=625}\). Doar numărul \({25}\) este rădăcina pătrată a lui \({625}\).

Alt exemplu: \({(-32)^2=32^2=1024}\). Doar numărul \({32}\) este rădăcina pătrată a lui \({1024}\).

Pentru a arăta că numerele sunt pătrate perfecte, efectuăm calcule astfel încât să le putem rescrie ca puteri cu exponentul 2.

Ne amintim și aplicăm câteva reguli de calcul cu puteri:

\({(x^m)^n=x^{m \; \cdot \; n}=(x^n)^m}\)

\({x^m : x^n=x^{m \; - \; n}}\)

\({x^m \cdot x^n=x^{m \; + \; n}}\)

\({x^m \cdot y^m=(x \cdot y)^m}\)

a) \({100 \cdot 225=10^2 \cdot 15^2=(10 \cdot 15)^2=150^2}\)

\({225=3^2 \cdot 5^2=(3 \cdot 5)^2=15^2}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{100 \cdot 225}=\sqrt{150^2}=150}\)

b) \({36 \cdot 81 = 6^2 \cdot 9^2=(6 \cdot 9)^2=54^2}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{36 \cdot 81}=\sqrt{54^2}=54}\)

c) \({2025=3^4 \cdot 5^2=(3^2)^2 \cdot 5^2=(3^2 \cdot 5)^2=(9 \cdot 5)^2=45^2}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{2025}=\sqrt{45^2}=45}\)

d) \({169^3=(13^2)^3=(13^3)^{2}}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{169^3}=\sqrt{(13^3)^2}=13^3=2197}\)

e) \({576=2^6 \cdot 3^2=(2^3)^2 \cdot 3^2=(2^3 \cdot 3)^2=(8 \cdot 3)^2=24^2}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{576}=\sqrt{24^2}=24}\)

f) \({32 \cdot \textcolor{#ff1493}{66} \cdot \textcolor{RoyalBlue}{33}=2^5 \cdot \textcolor{#ff1493}{2 \cdot 3 \cdot 11} \cdot \textcolor{RoyalBlue}{3 \cdot 11} }\)

f) \({\textcolor{white}{32 \cdot 66 \cdot 33}=2^{5+1} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11}\)

f) \({\textcolor{white}{32 \cdot 66 \cdot 33}=2^{6} \cdot 3^{1+1} \cdot 11^{1+1}}\)

f) \({\textcolor{white}{32 \cdot 66 \cdot 33}=(2^3)^2 \cdot 3^{2} \cdot 11^{2} }\)

f) \({\textcolor{white}{32 \cdot 66 \cdot 33}=(2^3 \cdot 3 \cdot 11)^{2}}\)

f) \({\textcolor{white}{32 \cdot 66 \cdot 33}=264^{2}}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{32 \cdot 66 \cdot 33}=\sqrt{264^2}=264}\)

g) \({324 \cdot 9^5=2^2 \cdot 3^4 \cdot (3^2)^5 }\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=2^2 \cdot 3^4 \cdot 3^{10} }\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=2^2 \cdot 3^{4+10}}\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=2^2 \cdot 3^{14}}\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=2^2 \cdot(3^7)^2}\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=(2 \cdot 3^7)^2 }\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=(2 \cdot 2187)^2}\)

g) \({\textcolor{white}{324 \cdot 9^5}=4374^2}\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{324 \cdot 9^5}=\sqrt{4374^2}=4374}\)

h) \({1000^5 : 100^5 \cdot 10 =(10^3)^5 : (10^2)^5 \cdot 10 }\)

h) \({\textcolor{white}{1000^5 : 100^5 \cdot 10 } =10^{ 3 \; \cdot \; 5} :10^{ 2 \; \cdot \; 5} \cdot 10 }\)

h) \({\textcolor{white}{1000^5 : 100^5 \cdot 10 } =10^{15} :10^{ 10} \cdot 10 }\)

h) \({\textcolor{white}{1000^5 : 100^5 \cdot 10 } =10^{ 15-10+1} }\)

h) \({\textcolor{white}{1000^5 : 100^5 \cdot 10 } =10^{6} }\)

h) \({\textcolor{white}{1000^5 : 100^5 \cdot 10 } =10^{3 \; \cdot \; 2} }\)

h) \({\textcolor{white}{1000^5 : 100^5 \cdot 10 } =(10^3)^2 }\)

Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{1000^5 : 100^5 \cdot 10 }=\sqrt{(10^3)^2}=10^3=1000}\)

Ne amintim și aplicăm câteva reguli de calcul cu puteri:

\({(x^m)^n=x^{m \; \cdot \; n}=(x^n)^m}\)

\({x^m : x^n=x^{m \; - \; n}}\)

\({x^m \cdot x^n=x^{m \; + \; n}}\)

\({x^m \cdot y^m=(x \cdot y)^m}\)

a) Descompunem numărul \({76}\) în factori primi și vrem să vedem dacă-l putem scrie ca putere cu exponentul \({2}\).

\({76=2^2 \cdot 19}\)

Nu-l putem scrie pe \({76}\) ca putere cu exponentul \({2}\), deci nu este pătrat perfect.

b) Numărul \({1}\) este pătrat perfect, pentru că \({1^2=1}\).

\({\sqrt{1}=1}\)

Rădăcina pătrată a a lui \({1}\) este \({1}\).

c) Aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a rescrie numărul \({11^6}\) ca putere cu exponentul \({2}\).

\({11^6=11^{3 \; \cdot \; 2}=(11^3)^2}\)

Rezultă că \({11^6}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată.

\({\sqrt{11^6}=\sqrt{(11^3)^2}=11^3=1331}\)

Observăm că, dacă exponentul unei puteri este număr par, atunci puterea este pătrat perfect.

d) Aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a rescrie numărul \({9^7}\) ca putere cu exponentul \({2}\).

Observăm că numărul \({9}\) (baza puterii) este pătrat perfect.

\({9^7=(3^2)^7=(3^7)^2}\)

Rezultă că \({9^7}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată.

\({\sqrt{9^7}=\sqrt{(3^7)^2}=3^7=2187}\)

Observăm că, dacă baza unei puteri este pătrat perfect, atunci puterea este pătrat perfect.

e) Aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a rescrie numărul \({3^4 \cdot 4^5}\) ca putere cu exponentul \({2}\).

\({3^4 \cdot 4^5=3^{2 \; \cdot \; 2} \cdot (2^2)^5}\)

\({\textcolor{white}{3^4 \cdot 4^5}=(3^2)^2 \cdot (2^5)^2}\)

\({\textcolor{white}{3^4 \cdot 4^5}=9^2 \cdot 32^2}\)

\({\textcolor{white}{3^4 \cdot 4^5}=(9 \cdot 32)^2}\)

\({\textcolor{white}{3^4 \cdot 4^5}=288^2}\)

Rezultă că \({3^4 \cdot 4^5}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată.

\({\sqrt{3^4 \cdot 4^5}=\sqrt{288^2}=288}\)

f) Aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a rescrie numărul \({16 \cdot 36}\) ca putere cu exponentul \({2}\).

Observăm că ambii factori ai înmulțirii sunt pătrate perfecte.

\({16 \cdot 36=4^2 \cdot 6^2=(4 \cdot 6)^2=24^2}\)

Rezultă că \({16 \cdot 36}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată.

\({\sqrt{16 \cdot 36}=\sqrt{24^2}=24}\)

Observăm că, dacă toți factorii unui produs sunt pătrate perfecte, atunci produsul este pătrat perfect.

g) Aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a rescrie numărul \({7^8 \cdot 121}\) ca putere cu exponentul \({2}\).

Observăm că \({121}\) este pătrat perfect, iar \({7^8}\) are exponentul număr par.

\({7^8 \cdot 121=7^{4 \; \cdot \; 2} \cdot 11^2}\)

\({\textcolor{white}{7^8 \cdot 121}=(7^4)^2 \cdot 11^2}\)

\({\textcolor{white}{7^8 \cdot 121}=(7^4 \cdot 11)^2}\)

\({\textcolor{white}{7^8 \cdot 121}=(2401 \cdot 11)^2}\)

\({\textcolor{white}{7^8 \cdot 121}=26411^2}\)

\({7^4=7^2 \cdot 7^2=49 \cdot 49=2401}\)

Rezultă că \({7^8 \cdot 121}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată.

\({\sqrt{7^8 \cdot 121}=\sqrt{26411^2}=26411}\)

h) Aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a rescrie numărul \({36^3 \cdot 49^3 }\) ca putere cu exponentul \({2}\).

Observăm că ambele baze ale celor două puteri sunt pătrate perfecte.

\({36^3 \cdot 49^3 =(6^2)^3 \cdot (7^2)^3}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =(6^3)^2 \cdot (7^3)^2}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =(6^3 \cdot 7^3)^2}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =(216 \cdot 343)^2}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =74088^2}\)

Rezultă că \({36^3 \cdot 49^3}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată.

\({\sqrt{36^3 \cdot 49^3}=\sqrt{74088^2}=74088}\)

Alt mod de a efectua calculul:

\({36^3 \cdot 49^3 =(36 \cdot 49)^3}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =(6^2 \cdot 7^2)^3}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =[(6 \cdot 7)^2]^3}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =[(6 \cdot 7)^3]^2}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =(42^3)^2}\)

\({\textcolor{white}{36^3 \cdot 49^3} =74088^2}\)

\({\sqrt{A}=B}\) dacă și numai dacă \({B^2=A}\)

Avem două variante:

• descompunem în factori primi numărul \({A}\) de sub radical


• sau ridicăm la pătrat numărul \({B}\) din celălalt membru al egalității.

a) \({\sqrt{250}=50}\) F (fals)

Afirmația este falsă pentru că \({50^2=2500 \neq 250}\).

b) \({\sqrt{90}=30}\) F (fals)

Afirmația este falsă pentru că \({30^2=900 \neq 90}\).

c) \({\sqrt{1225}=35}\) A (adevărat)

Afirmația este adevărată pentru că \({35^2=1225}\).

d) \({\sqrt{1764}=42}\) A (adevărat)

Afirmația este adevărată pentru că \({42^2=1764}\).

e) \({\sqrt{1000}=100}\) F (fals)

Afirmația este falsă pentru că \({100^2=10000 \neq 1000}\).

Efectuăm calculele astfel încât să ajungem să-l scriem pe \({x}\) ca putere cu exponentul \({2}\).

a) \({x=2 +4+6+\dotsc+288-144}\)

Vom calcula mai întâi suma \({2 +4+6+\dotsc+288}\). Avem doar termeni pari, până la \({288}\) inclusiv. Dăm factor comun pe \({2}\) și obținem:

\({2 +4+6+\dotsc+288=2(1+2+3+\dotsc +144)}\)

Aplicăm formula pentru calculul sumei primelor \({n}\) numere naturale:

\({1+2+3+\dotsc+n=\frac{\displaystyle n(n+1)}{\displaystyle 2}}\)

\({1+2+3+\dotsc+144=\frac{\displaystyle 144(144+1)}{\displaystyle 2}}\)

\({\textcolor{white}{1+2+3+\dotsc+144}=\frac{\displaystyle 144 \cdot 145}{\displaystyle 2}}\)

Rezultă că:

\({2 +4+6+\dotsc+288=2(1+2+3+\dotsc +144)}\)

\({\textcolor{white}{2 +4+6+\dotsc+288}=\cancel{2} \cdot \frac{\displaystyle 144 \cdot 145}{\displaystyle \cancel{2} }}\)

\({\textcolor{white}{2 +4+6+\dotsc+288}=144 \cdot 145}\)

Revenim la calculul lui \({x}\):

\({x=2 +4+6+\dotsc+288-144}\)

\({\textcolor{white}{x}=144 \cdot 145-144}\)

\({\textcolor{white}{x}=144 (145-1)}\)

\({\textcolor{white}{x}=144 \cdot 144}\)

\({\textcolor{white}{x}=144^2}\)

Am obținut că \({x=144^2}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{x}=\sqrt{144^2}=144}\)

b) \({x=2 +4+6+ \dotsc+198+100}\);

• calculăm mai întâi suma \({2 +4+6+ \dotsc+198}\)
• dăm factor comun pe \({2}\)
• aplicăm formula \({1+2+3+\dotsc+n=\frac{\displaystyle n(n+1)}{\displaystyle 2}}\)



\({x=2 +4+6+ \dotsc+198+100}\)

\({\textcolor{white}{x}=2(1+2+3+ \dotsc+99)+100}\)

\({\textcolor{white}{x}=\cancel{2} \cdot \frac{\displaystyle 99(99+1)}{\displaystyle \cancel{2}} +100}\)

\({\textcolor{white}{x}=99 \cdot 100 +100}\)

\({\textcolor{white}{x}=100(99+1)}\)

\({\textcolor{white}{x}=100 \cdot 100 }\)

\({\textcolor{white}{x}=100^2}\)

Am obținut că \({x=100^2}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{x}=\sqrt{100^2}=100}\)

c) \({x=1+2+3+ \dotsc+169-(13 \cdot 2)^2}\)

Aplicăm formula \({1+2+3+\dotsc+n=\frac{\displaystyle n(n+1)}{\displaystyle 2}}\).

\({x=1+2+3+ \dotsc+169-(13 \cdot 2)^2}\)

\({\textcolor{white}{x}=\frac{\displaystyle 169(169+1)}{\displaystyle 2} -13^2 \cdot 2^2}\)

\({\textcolor{white}{x}=\frac{\displaystyle 169 \cdot \cancel{170}^{85}}{\displaystyle \cancel{2}} -13^2 \cdot 2^2}\)

\({\textcolor{white}{x}=169 \cdot 85 -169 \cdot 4}\)

\({\textcolor{white}{x}=169 (85-4)}\)

\({\textcolor{white}{x}=169 \cdot 81}\)

\({\textcolor{white}{x}=13^2 \cdot 9^2}\)

\({\textcolor{white}{x}=(13 \cdot 9)^2}\)

\({\textcolor{white}{x}=117^2}\)

Am obținut că \({x=117^2}\) este pătrat perfect. Calculăm rădăcina pătrată:

\({\sqrt{x}=\sqrt{117^2}=117}\)