a) \({ 7^2=49}\)

Pătratul lui 7 este 49.

Rădăcina pătrată a lui 49 este 7. Scriem 49 = 7.

b) \({ 12^2=144}\)

Pătratul lui 12 este 144.

Rădăcina pătrată a lui 144 este 12. Scriem 144 = 12.

c) \({ 4^2=}\) 16

Pătratul lui 4 este 16.

Rădăcina pătrată a lui 16 este 4. Scriem 16 = 4.

d) \({ 15^2=}\) 225

Pătratul lui 15 este 225.

Rădăcina pătrată a lui 225 este 15. Scriem 225 = 15.

e) 8\({ ^2=64}\)

Pătratul lui 8 este 64.

Rădăcina pătrată a lui 64 este 8. Scriem 64 = 8.

f) 16\({ ^2=256}\)

Pătratul lui 16 este 256.

Rădăcina pătrată a lui 256 este 16. Scriem 256 = 16.

Cuvintele „rezultă că” le înlocuim cu semnul \({\Longrightarrow}\). Folosim acest semn atunci când avem afirmații de tipul „dacă ..., atunci ...”.

Pentru a scrie că un număr \({A}\) este rădăcina pătrată a numărului \({B}\), folosim semnul \({\sqrt{\textcolor{white}{B}}}\) („radical din”). Scriem \({\sqrt{\smash[b]{B}}=A}\) și citim „radical din A este egal cu B”.

a) Rădăcina pătrată a lui \({36}\) este \({6}\).

Scriem \({ \sqrt{36}=6}\).

b) Numărul \({8}\) este rădăcina pătrată a lui \({64}\).

Scriem \({ \sqrt{64}=8}\).

c) Rădăcina pătrată a lui \({121}\) este \({11}\) pentru că \({ 11^2=121}\).

Scriem \({11^2=121 \Longrightarrow \sqrt{121}=11}\).

d) Rădăcina pătrată a lui \({25}\) este \({5}\) pentru că \({ 5^2=25}\).

Scriem \({5^2=25 \Longrightarrow \sqrt{25}=5}\).

e) Deoarece \({ 12^2=144}\), rezultă că rădăcina pătrată a lui \({144}\) este \({ 12}\).

Scriem \({12^2=144 \Longrightarrow \sqrt{144}=12}\).

f) Deoarece \({ 100^2=10000}\), rezultă că rădăcina pătrată a lui \({ 10000}\) este \({ 100}\).

Scriem \({100^2=10000 \Longrightarrow \sqrt{10000}=100}\).

g) Deoarece pătratul lui \({9}\) este \({81}\), spunem că rădăcina pătrată a lui \({81}\) este \({9}\).

Scriem \({9^2=81 \Longrightarrow \sqrt{81}=9}\).

h) Deoarece \({49}\) este pătratul lui \({7}\), spunem că \({7}\) este rădăcina pătrată a lui \({49}\).

Scriem \({7^2=49 \Longrightarrow \sqrt{49}=7}\).

Cuvintele „dacă și numai dacă” le înlocuim cu semnul \({ \Longleftrightarrow}\).

„Afirmația A” dacă și numai dacă „afirmația B” înseamnă o dublă implicație:

• Dacă „afirmația A”, atunci „afirmația B”.


• Dacă „afirmația B”, atunci „afirmația A”.

Cuvintele „rezultă că” le înlocuim cu semnul \({\Longrightarrow}\). Folosim acest semn atunci când avem afirmații de tipul „dacă ..., atunci ...”.

Pentru a scrie că un număr \({A}\) este rădăcina pătrată a numărului \({B}\), folosim semnul \({\sqrt{\textcolor{white}{B}}}\) („radical din”). Scriem \({\sqrt{\smash[b]{B}}=A}\) și citim „radical din A este egal cu B”.

a) Numărul \({5}\) este rădăcina pătrată a lui \({25}\).

Scriem \({\sqrt{25}=5}\).

b) Numărul \({5}\) este rădăcina pătrată a lui \({25}\) dacă și numai dacă \({5^2=25}\).

Scriem \({\sqrt{25}=5 \Longleftrightarrow 5^2=25}\).

Avem o dublă implicație:

• Dacă \({\sqrt{25}=5 }\), atunci \({5^2=25}\).


• Dacă \({5^2=25}\), atunci \({\sqrt{25}=5 }\).

c) Deoarece \({5}\) este rădăcina pătrată a lui \({25}\), rezultă că \({5^2=25}\).

Scriem \({\sqrt{25}=5 \Longrightarrow 5^2=25}\).

d) Deoarece \({5^2=25}\), rezultă că \({5}\) este rădăcina pătrată a lui \({25}\).

Scriem \({5^2=25 \Longrightarrow \sqrt{25}=5}\).

a) Calculăm pătratele primelor numere naturale; când ajungem la un pătrat mai mare decât 150, ne oprim. Subliniem sau scriem cu altă culoare ultima cifră a fiecărui pătrat perfect, pentru a putea rezolva mai ușor subpunctul b).

\({0^2=\textcolor{NavyBlue}{0}}\)

\({1^2=\textcolor{NavyBlue}{1}}\)

\({2^2=\textcolor{NavyBlue}{4}}\)

\({3^2=\textcolor{NavyBlue}{9}}\)

\({4^2=1\textcolor{NavyBlue}{6}}\)

\({5^2=2\textcolor{NavyBlue}{5}}\)

\({6^2=3\textcolor{NavyBlue}{6}}\)

\({7^2=4\textcolor{NavyBlue}{9}}\)

\({8^2=6\textcolor{NavyBlue}{4}}\)

\({9^2=8\textcolor{NavyBlue}{1}}\)

\({10^2=100}\)

\({11^2=121}\)

\({12^2=144}\)

\({13^2=169 > 150}\)

Ne oprim pentru că am obținut un pătrat perfect mai mare decât \({150}\).

Am obținut că pătratele perfecte mai mici sau egale cu \({150}\) sunt \({0}\), \({1}\), \({4}\), \({9}\), \({16}\), \({25}\), \({36}\), \({49}\), \({64}\), \({81}\), \({100}\), \({121}\) și \({144}\).

b) Pătratele numerelor de la 0 la 9 ne indică faptul că ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi 0, 1, 4, 5, 6, sau 9. Atenție! Nu orice număr care are ultima cifră 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 este pătrat perfect. De exemplu, 10 are ultima cifră 0 și nu este pătrat perfect.

Mai observăm ceva: numerele care au ultima cifră 2, 3, 7 sau 8 cu siguranță nu sunt pătrate perfecte. Dacă vrem să arătăm că un număr nu este pătrat perfect, ne uităm la ultima cifră a lui. Dacă aceasta este 2, 3, 7 sau 8, atunci numărul nu este pătrat perfect.

Dacă vrem să arătăm că un număr nu este pătrat perfect, ne uităm la ultima cifră a lui. Dacă aceasta este 2, 3, 7 sau 8, atunci numărul nu este pătrat perfect.

Ultima cifră a anumărului 1008 este 8, deci 1008 nu este pătrat perfect.

Ultima cifră a anumărului 2023 este 3, deci 2023 nu este pătrat perfect.

Ultima cifră a anumărului 1997 este 7, deci 1997 nu este pătrat perfect.

• Lungimea gărdulețului este egală cu perimetrul terenului, adică este egală cu suma lungimilor laturilor acestuia. Terenul este pătrat, deci are laturile egale. Rezultă că avem nevoie să calculăm lungimea unei laturi a terenului. Notăm cu \({x }\) lungimea laturii acestuia.


• Terenul are forma unui pătrat; știm aria lui. Ne amintim că aria unui pătrat este egală cu latura la pătrat (latura la puterea a doua). Înseamnă că putem calcula lungimea laturii pătratului.




\({Aria_{patrat}= x^2 }\)

\({ x^2 = 100\;m^2}\)



• Ce număr, ridicat la pătrat, ne dă 100? Altfel spus, ce număr, înmulțit cu el însuși, ne dă 100?


• Calculăm rădăcina pătrată a lui 100.



\({ 100=10^2}\)

\({ \sqrt{100 }=\sqrt{10^2 }=10}\)

• Am obținut că latura terenului în formă de pătrat este egală cu \({10\;m}\). Rezultă că perimetrul lui este egal cu \({ 40\;m}\).



\({ Perimetru_{teren}=4 \cdot 10 =40 \;m}\)

• Rezultă că lungimea gărdulețului este de \({ 40\;m}\).

Cele patru laturi ale pătratului sunt egale; aria pătratului se calculează cu formula \({Aria_{patrat}= x^2 }\), unde \({x }\) este latura pătratului.

a) Aria pătratului este \({64 \;cm^2}\). Calculăm lungimea laturii acestuia.

Ce număr, ridicat la puterea a doua, ne dă \({64}\)? Calculăm rădăcina pătrată a numărului \({64}\).

• \({Aria_{patrat}= x^2 =64\;cm^2}\)


• îl scriem pe \({64}\) ca putere cu exponentul \({2}\) (avem \({64=8^2}\))


• \({x=\sqrt{64}= \sqrt{8^2}=8\;cm}\)


• Pătratul cu aria egală cu \({64 \;cm^2}\) are latura egală cu \({8 \;cm}\).

b) Aria pătratului este \({81 \;m^2}\). Calculăm lungimea laturii acestuia.

Ce număr, ridicat la puterea a doua, ne dă \({81}\)? Calculăm rădăcina pătrată a numărului \({81}\).

• \({Aria_{patrat}= x^2 =81\;m^2}\)


• îl scriem pe \({81}\) ca putere cu exponentul \({2}\) (avem \({81=9^2}\))


• \({x=\sqrt{81}= \sqrt{9^2}=9\;m}\)


• Pătratul cu aria egală cu \({81 \;m^2}\) are latura egală cu \({9 \;m}\).

c) Aria pătratului este \({441 \;m^2}\). Calculăm lungimea laturii acestuia.

Ce număr, ridicat la puterea a doua, ne dă \({441}\)? Calculăm rădăcina pătrată a numărului \({441}\). Pentru aceasta, descompunem numărul \({441}\) în factori primi.

\({441 = 3^2 \cdot 7^2= (3 \cdot 7)^2=21^2}\)

• \({Aria_{patrat}= x^2 =441\;m^2}\)


• \({x=\sqrt{441}= \sqrt{21^2}=21\;m}\)


• Pătratul cu aria egală cu \({441 \;m^2}\) are latura egală cu \({21 \;m}\).

Altfel: observăm că \({20^2=400}\). Numărul \({441}\) este mai mare și apropiat de \({400}\). Este posibil ca \({441}\) să fie următorul pătrat perfect, după \({400}\)? Calculăm și obținem că \({21}\) este rădăcina pătrată alui \({441}\).

\({21^2=21 \cdot 21=441}\).

d) Aria pătratului este \({324 \;cm^2}\). Calculăm lungimea laturii acestuia.

Ce număr, ridicat la puterea a doua, ne dă \({324}\)? Calculăm rădăcina pătrată a numărului \({324}\). Pentru aceasta, descompunem numărul \({324}\) în factori primi.

\({324 = 2^2 \cdot 3^4= 2^2 \cdot (3^2)^2=2^2 \cdot 9^2=(2 \cdot 9)^2=18^2}\)

• \({Aria_{patrat}= x^2 =324\;cm^2}\)


• \({x=\sqrt{324}= \sqrt{18^2}=18\;cm}\)


• Pătratul cu aria egală cu \({324 \;cm^2}\) are latura egală cu \({18 \;cm}\).