Cum ajungem de la \({x}\) la \({5x}\)?

înmulțim prima relație cu 5:

\({x=3 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 5 }}\)

\({5 \cdot x=5 \cdot 3 }\)

\({5x=15 }\)

Afirmația este adevărată.

Cum ajungem de la \({x}\) la \({4x}\)?

înmulțim prima relație cu 4:

\({x=1 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 4 }}\)

\({4 \cdot x=4 \cdot 1 }\)

\({4 x=4}\)

Cum ajungem de la \({4x}\) la \({4x-1}\)?

scădem 1 din ambii membri:

\({4 x=4 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - \; 1 }}\)

\({4 x-1=4 - 1 }\)

\({4x-1=3 }\)

Afirmația este adevărată.

Cum ajungem de la \({2x}\) la \({x}\)?

împărțim ambii membri cu 2 (cu coeficientul lui \({x}\)):

\({2x=10 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; : \; 2 }}\)

\({x=10 : 2 }\)

\({x=5 }\)

Cum ajungem de la \({x}\) la \({x-3}\)? (se poate verifica direct, efectuând scăderea 5 minus 3 este egal cu 2)

scădem 3 din ambii membri:

\({x=5 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; - \; 3 }}\)

\({x-3=5-3 }\)

\({x-3=2 }\)

Afirmația este adevărată.

Cum ajungem de la \({3x}\) la \({6x}\)?

înmulțim ambii membri cu 2:

\({3x+4y=26 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 2 }}\)

\({2(3x+4y)=2 \cdot 26 }\)

\({6x+8y=52 }\)

Afirmația este falsă.

Observăm că \({3=5-2}\), adică \({3x=5x-2x}\)

\({5x-2x=y }\)

Afirmația este adevărată.

Observăm că avem coeficienți numere pare în relația dată, deci putem împărți ambii membri cu 2:

\({4x-8=6y-4 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; : \; 2 }}\)

\({2x-4=3y-2 }\)

Afirmația este adevărată.

Observăm că este nevoie să grupăm termenii, astfel: în membrul stâng necunoscutele, iar în membrul drept termenul liber.

pe \({-7}\) îl trecem în membrul drept cu semn schimbat

pe \({6y}\) îl trecem în membrul stâng cu semn schimbat

obținem \({3x-6y=7}\)

în membrul stâng, îl dăm factor comun pe 3:

\({3(x-2y)=7 }\)

Afirmația este adevărată.

Observăm că avem coeficienți numere pare, deci putem împărți cu 2 relația dată.

\({4x+12=2y-6\, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; : \; 2 }}\)

\({2x+6=y-3}\)

Observăm că este nevoie să grupăm termenii, astfel: într-un membru să avem termenii care conțin necunoscutele, iar în celălalt membru să avem termenii liberi

pe \({2x}\) îl trecem în membrul drept cu semn schimbat (așa e mai avantajos)

pe \({-3}\) îl trecem în membrul stâng cu semn schimbat

\({6+3=y-2x}\)

\({9=y-2x }\)

Afirmația este adevărată.

Observăm că avem \({\sqrt{410}}\), ceea ce ne duce cu gândul la extragerea rădăcinii pătrate:

\({\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{410}}\)

Dar \({\sqrt{x^2+y^2}\neq x+y}\)

Afirmația este falsă.

Observăm că avem \({\sqrt{9x^2}=\lvert 3x \rvert}\) și \({\sqrt{36y^2}=\lvert 6y \rvert}\).

\({\lvert 3x \rvert=3x}\) dacă \({3x \ge 0}\); cum \({x}\) este număr real, el poate lua orice valoare reală, deci și valori negative.

\({\lvert 6y \rvert=6y}\) dacă \({6y \ge 0}\); cum \({y}\) este număr real, el poate lua orice valoare reală, deci și valori negative.

Astfel, afirmația este falsă.

Ridicăm la pătrat ambii membri din prima relație:

\({x=5y \Longrightarrow x^2=(5y)^2 \Longrightarrow x^2=25y^2}\)

Înmulțim noua relație cu 2 și obținem:

\({ x^2=25y^2 \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 2 }}\)

\({ 2 \cdot x^2=2 \cdot 25y^2}\)

\({ 2x^2=50y^2}\)

Afirmația este adevărată.

• varianta 1: avem o proporție; știm că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor



\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 5} \Longrightarrow 5x=2y}\)



• varianta 2: înmulțim relația dată cu 10 (\({10 =2 \cdot 5 }\), adică înmulțim cu produsul numitorilor)



\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 5} \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 10 }} \)

\({\cancel{10}^5 \cdot \frac{\displaystyle x}{\displaystyle \cancel{2}} = \cancel{10}^2 \cdot \frac{\displaystyle y}{\displaystyle \cancel{5}}} \)

\({5x=2y }\)

Afirmația este adevărată.

avem o proporție; produsul mezilor este egal cu produsul extremilor

\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 7} \Longrightarrow 7x=4y}\)

îl trecem pe \({+7x}\) în celălalt membru, cu semn schimbat

\({4y-7x=0 }\)

Afirmația este adevărată.

avem o proporție; produsul mezilor este egal cu produsul extremilor

\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 20} \Longrightarrow 20x=6y}\)

coeficienții necunoscutelor se împart exact la 2 (sunt numere pare); împărțim ambii membri ai egalității cu 2

\({20x=6y \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; : \; 2}}\)

\({10x=3y }\)

Afirmația este falsă.

avem o proporție; produsul mezilor este egal cu produsul extremilor

\({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 6} \Longrightarrow 6x=5y}\)

ridicăm la puterea a treia ambii membri ai egalității:

\({(6x)^3=(5y)^3}\)

\({216x^3=125y^3 }\)

Afirmația este adevărată.

Avem \({\sqrt{36x^2}=\lvert 6x \rvert}\) și \({\sqrt{25y^2}=\lvert 5y \rvert}\).

\({\lvert 6x \rvert=6x}\) dacă \({6x \ge 0}\); cum \({x}\) este număr real, el poate lua orice valoare reală, deci și valori negative.

\({\lvert 5y \rvert=5y}\) dacă \({5y \ge 0}\); cum \({y}\) este număr real, el poate lua orice valoare reală, deci și valori negative.

Afirmația este falsă.

Dacă ridicăm la pătrat ambii membri ai egalității, obținem:

\({(x+y)^2=3^2}\)

\({(x+y)^2=9}\)

Afirmația este falsă pentru că \({x+y \neq (x+y)^2}\).

\({(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2}\).

Avem proporția \({\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 36}=\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 1}}\). Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, deci obținem:

\({x=9 \cdot 36= 324 > 0}\)

Extragem radicalul (putem face asta, pentru că \({x > 0}\)):

\({\sqrt{x}=\sqrt{324}=18}\)

\({\sqrt{x}=18 }\)

Afirmația este adevărată.

Înmulțim membru cu membru cele două relații date:

\({x=2y}\)

\({y=4z \textcolor{white}{2x=107}}\)

\({x \cdot y= 2y \cdot 4z}\)

\({xy=8yz}\)

Afirmația este adevărată.

Înmulțim membru cu membru cele două relații:

\({2x=107}\)

\({y=z \textcolor{white}{2x=107}}\)

\({2x \cdot y= 107 \cdot z}\)

\({2xy= 107z}\)

Înmulțim cu 2 ambii membri ai noii relații:

\({2xy= 107z \, \; \textcolor{ #6863ff}{\mid \; \cdot \; 2}}\)

\({2 \cdot 2xy= 2 \cdot 107z }\)

\({4xy=214z}\)

Afirmația este adevărată.

Împărțim membru cu membru cele două relații (putem face asta, pentru că ni se spune că împărțitorii sunt diferiți de 0):

\({xy=6z^2}\)

\({x=2z \textcolor{white}{2x=107}}\)

\({xy : x= 6z^2 : 2z}\)

\({y=3z}\)

Afirmația este adevărată.

Înmulțim membru cu membru cele două relații date (cea de-a doua relație o scriem invers):

\({4x=7y}\)

\({2z=y \textcolor{white}{2x=107}}\)

\({4x \cdot 2z= 7y \cdot y}\)

\({8xz=7y^2}\)

Afirmația este adevărată.

\({\cancel{x}+\underline{2y} +\underline{\underline{7}}-\cancel{x}-\underline{y}+\underline{\underline{3}}=\underline{2x}+\cancel{y}-\cancel{3}-\underline{x}-\cancel{y}+\cancel{3}}\)

\({2y-y+7+3=2x-x}\)

\({y+10=x}\)

\({3x+\cancel{y} -\cancel{9}-2x-\cancel{y}+\cancel{9}=\cancel{2x}+\cancel{y}-\cancel{9}-\cancel{2x}-\cancel{y}+\cancel{9}}\)

\({3x-2x=0}\)

\({x=0}\)

\({\cancel{x^2} +2y^2+\underline{xy}-\cancel{x^2}+\underline{2xy}=\cancel{x^2}-\cancel{2xy}-\cancel{x^2}+\cancel{2xy}}\)

\({2y^2+xy+2xy=0}\)

\({2y^2+3xy=0}\)

Putem da factor comun:

\({y(2y+3x)=0}\)